!missing-numbers?missing_numbers_pic3.png!
Din fiecare nod iese cate un arc si cum sunt un numar finit de noduri rezulta ca din orice nod pornim ajungem intr-un ciclu. Chiar in momentul in care intram in ciclu, acel numar se va repeta, deci vrem ca la inceput sa fim intr-un nod ce nu apartine vreunui ciclu. Spre fericirea noastra un astfel de nod e nodul $n$, pentru ca nici un element $a[i]$ nu va fi egal cu $n$. Deci daca pornim de la nodul $n$ suntem in afara vreunui ciclu si putem sa mergem pe drumul pe care il indica pentru a ajunge eventual intr-un ciclu. Am vazut in problema anterioara cum determinam pentru o lista ce are ciclu lungimea lantului, astfel putem determina elementul de la intrarea in ciclu in complexitate $O(n)$ si problema noastra este rezolvata.
Din fiecare nod iese cate un arc si cum sunt un numar finit de noduri rezulta ca din orice nod pornim ajungem intr-un ciclu. In momentul in care intram in ciclu, acel numar se va repeta, deci vrem ca primul nod sa nu apartina nici unui ciclu. Un astfel de nod e nodul $n$, pentru ca nici un element $a[i]$ nu va fi egal cu $n$. Deci, daca pornim de la nodul $n$ suntem in afara oricarui ciclu si putem sa mergem pe drumul pe care il indica pentru a ajunge eventual intr-un ciclu. Am vazut in problema anterioara cum determinam lungimea lantului pentru o lista ce contine un ciclu. Putem determina astfel elementul de la intrarea in ciclu in complexitate $O(n)$ si problema noastra este rezolvata.
h2(#prob5). Problema 5
Se da un sir de $N$ intregi ce contine numere intre $1$ si $N$. Sa se determine daca acest numar este o permutare cat mai eficient, fara a distruge sirul.
Se da un sir de $N$ intregi ce contine numere intre $1$ si $N$. Sa se determine cat mai eficient daca acest numar este o permutare, fara a distruge sirul.
h3. Rezolvare
Pentru ca valorile sirului sunt intregi iar valorile elementelor unei permutari sunt pozitive rezulta ca ne putem folosi de bitul de semn al fiecarui numar pentru ca acesta ramane liber. Vom verifica intai daca exista vreun element negativ in sir. Apoi daca nu exista vom marca elementele parcurse din ciclurile permutarii astfel $a[i] = -a[i]$. Daca trebuie sa marcam un element de doua ori sau in parcurgerea initiala am gasit un numar negativ atunci cele $N$ numere nu reprezinta o permutare. Pentru a aduce sirul inapoi la starea initiala vom schimba toate elementele ce au semn negativ din sir cu valorile lor in modul. Astfel am obtinut o rezolvare liniara ce foloseste spatiu suplimentar $O(1)$.
Pentru ca valorile sirului sunt intregi, iar valorile elementelor unei permutari sunt pozitive, rezulta ca putem folosi bitul de semn al fiecarui numar pentru ca acesta ramane liber. Verificam mai intai daca exista vreun element negativ in sir. Apoi, daca nu exista, vom marca elementele parcurse din ciclurile permutarii astfel $a[i] = -a[i]$. Daca un element este marcat de doua ori sau am gasit initial un numar negativ, atunci cele $N$ numere nu reprezinta o permutare. Pentru a reface sirul initial, vom schimba toate elementele ce au semn negativ din sir cu valorile lor in modul. Astfel am obtinut o rezolvare liniara ce foloseste spatiu suplimentar $O(1)$.
h2(#prob6). Problema 6 ( _interviu Microsoft_ )
Se dau n numere de la 1 la n. Unul din ele unul apare de doua ori in sir, iar restul sunt distincte. Evident ca un numar nu va aparea niciodata. Sa se dea un algoritm cat mai eficient care sa determine numarul lipsa si numarul ce apare de doua ori.
h3. Rezolvare
Notam cu $a$ numarul lipsa si cu $b$ numarul ce apare de doua ori. Majoritatea celor care stiu sa rezolve problema $1$ prin cele doua solutii optime (suma numerelor si suma xor) incearca sa rezolve aceasta problema determinand doua relatii diferite asupra lui $a$ si $b$, din care apoi incearca sa obtina valorile cerute. Scazand din $n(n + 1)/2$ suma numerelor din fisier obtinem valoarea pentru $a – b$, iar facand suma xor a numerelor din fisier si a numerelor de la $1$ la $n$ obtinem valoarea pentru $a ^∧^ b$. In acest moment putem considera ca problema este rezolvata, dar la o analiza mai atenta se poate observa ca numerele care verifica relatiile respective nu sunt unice. De exemplu pentru $a = 10$ si $b = 9$ obtinem valorile $a - b = 1$ si $a ^∧^ b = 3$. Aceleasi valori le obtinem si pentru $a = 6$ si $b = 5$. Se observa de aici ca cele doua relatii nu pot fi folosite pentru a rezolva problema.
Stim care este valoarea diferentei $D{~1~} = a - b$, dar mai avem nevoie de o relatie pentru a determina numerele $a$ si $b$. Vom incerca in continuare sa folosim operatia de inmultire pentru a obtine cea de-a doua relatie. Vom avea: $a/b = n! / a[ 1 ] * a[ 2 ] * ... * a[ n ]$. Aceasta relatie nu poate fi calculata in $O(n)$ pentru ca numarul de cifre al lui $n!$ nu este constant. Pentru a evita lucrul cu numere mari am putea sa logaritmam intreaga relatie, obtinand $lg a - lg b = lg 1 + lg 2 + ... + lg n - lg a[ 1 ] - lg a[ 2 ] - ... - lg a[ n ]$. Aceasta rezolvare ar fi buna daca ar fi posibila realizarea unor calcule perfecte cu numere reale. Din pacate acest lucru nu este posibil si rezolvarea are mari probleme cu precizia.
O a doua relatie o putem obtine ca diferenta intre suma patratelor numerelor de la $1$ la $n$ si suma patratelor numerelor din fisier. Obtinem astfel $D{~2~} = a^2^ - b^2^$. Din aceste doua relatii putem usor afla ca $a = (D{~1~} + D{~2~}/D{~1~})/2$ si $b = (D{~2~}/D{~1~} - D{~1~})/2$. Aceasta rezolvare are complexitatea $O(n)$ ca timp si $O(1)$ ca spatiu.
h2(#prob7). Problema 7
Se dau $n - k$ numere distincte de la $1$ la $n$. Sa se dea un algoritm cat mai eficient care sa determine numerele lipsa.
h3. Rezolvare
Fie $a, b, c, ...$ numerele ce lipsesc. Am putea extinde ideea din problema anterioara pentru a obtine in $O(n*k)$ sumele $S{~1~} = a + b + c + ..., S{~2~} = a^2^ + b^2^ + c^2^ + ..., ..., S{~k~} = a^k^ + b^k^ + c^k^ + ...$ si sa obtinem valorile elementelor $a, b, c, ...$, dar in general daca valoarea lui $k$ este variabila, atunci putem gasi solutia ce satisface toate cele $k$ relatii in timp exponential. O metodă este de a transforma relatiile intr-un polinom de radacini $a, b, c, ...$. Pentru a gasi $P(x) = a{~0~}X^k^ + a{~1~}X^k-1^ + ... + a{~k~}$ putem folosi relatiile lui Viete[1]
$s{~1~} = a + b + c + d + ...$
$s{~2~} = ab + ac + ad + bc + bd + cd + ...$
$s{~3~} = abc + acd + bcd + ...$
$s{~4~} = abcd + ...$
...
$s{~i~} = (-1)^i^ a{~n-i~}/a{~n~}$
Aceste sume $s{~k~}$ sunt numite polinoame simetrice si sunt strans legate de sumele de puteri $k S{~k~}$ prin relatiile Newton Girard[2]. Astfel avem un algoritm ce determină polinomul in $O(nk)$ si spatiu $O(k)$ (daca se ignora faptul ca numerele ar putea depasi intervalul numerelor reprezentabile pe un intreg), dar determinarea solutiei finale se poate face in $O(1)$ doar pentru ecuatii de gradul doi sau trei, pentru care stim formule de calcul. Pentru ecuatii de grad mai mare nu exista formule generale si trebuie aplicate metode care aproximeaza solutiile. O astfel de metoda ar fi sa derivam polinomul, sa gasim solutiile pentru $P'(x) = 0$, iar apoi sa folosim cate o cautare binara pentru a gasi solutiile $P(x) = 0$.
De exemplu pentru trei numere lipsa $a, b, c$ este usor sa determinam $S{~1~} = a + b + c, S{~2~} = a^2^ + b^2^ + c^2^, S{~3~} = a^3^ + b^3^ + c^3^$. $S{~1~}^2^ = a^2^ + b^2^ + c^2^ + 2ab + 2bc + 2ac = S{~2~} + 2s{~2~}, S{~1~}^3^ = a^3^ + b^3^ + c^3^ + 3a^2^b + 3a^2^c + 3b^2^a + 3b^2^a + 3c^2^a + 3c^2^b + 6abc = S{~3~} + 3(a^2^b + b^2^a + abc) + 3(a^2^c + c^2^a + abc) + 3(b^2^c + c^2^b + abc) - 3abc = S{~3~} + 3ab*s{~1~} + 3ac*s{~1~} + 3bc*s{~1~} - s{~3~} = S{~3~} + 3s{~2~}*s{~1~} - s{~3~}$. Din aceste relatii putem sa obtinem usor $s{~1~}, s{~2~}, s{~3~}$ si apoi putem aplica formulele lui Cardano de rezolvare a ecuatiei de gradul trei pe ecuatia $x^3^ - s{~1~} x^2^ + s{~2~} x - s{~3~} = 0$.
h2(#prob8). Problema 8
Intr-o structura de date avem $n - 1$ numere intregi (pentru simplitate $n = 2^b^ - 1$, cu numere distincte de la $0$ la $n$). Asupra elementelor din structura de date putem face urmatoarea operatie <code>getBit(i, j)</code>, care returneaza al $j$-lea bit din reprezentarea binara a numarului $a[ i ]$. Astfel daca $a[ 4 ] = 11$, atunci <code>getBit(4, 3)</code> returneaza $0$ pentru ca $11$ se scrie in baza $2$ ca $1011$. Sa se dea o solutie eficienta care gaseste numarul lipsa.
h3. Rezolvare
Acum vom folosi din nou un algoritm bazat pe Divide et Impera. La primul pas impartim multimea in doua submultimi - cea a numerelor pare si cea a numerelor impare, si vedem in care din ele se gaseste numarul nostru lipsa (am aflat astfel ultimul bit al rezultatului). Acum putem aplica recursiv procedura aceasta pe numerele din o lista cu jumatate din lungimea listei initiale impartite la doi (ignoram ultimul bit al numerelor). Aceasta solutie are complexitate $O(n)$ pentru ca dupa fiecare pas executat in timp liniar, dimensiunea problemei se injumatateste. Memoria suplimentara e $O(n)$ (doi vectori care sa pastreze indicii elementelor pare, respectiv impare).
h2(#prob9). Problema 9
Generalizam problema anterioara si se cere un algoritm eficient pentru un sir din care lipsesc $n - k$ numere.
h3. Rezolvare
Din nou vedem cate numere din sir au ultima cifra $0$ si cate au $1$. Astfel putem determina $k{~0~}$ - numarul de valori lipsa cu ultima cifra $0$, si $k{~1~}$ - numarul de valori lipsa care au ultima cifra $1$. Daca notam timpul de rezolvare al problemei noastre $T(n, k)$, acum avem de rezolvat doua subprobleme cu timpii $T(n/2, k{~0~})$ si $T(n/2, k{~1~})$. Acum impartim cele $k{~0~}$ numere in $k{~00~}$ si $k{~10~}$ valori care se termina in $00$, respectiv $10$ in reprezentarea in baza $2$. Aceasta solutie are complexitate $O(n log n)$ si nu imbunatateste cu nimic solutia in care sortam elementele sirului.
h2(#prob10). Problema 10 ( _el judge_ )
Se dau $n$ numere intregi astfel incat fiecare numar apare de un numar par de ori, in afara de unul singur, care apare de un numar impar de ori. Se cere determinarea acelui numar. De exemplu in sirul $1 2 2 3 1 2 2 2 3 3 3$, numai elementul $2$ apare de un numar impar de ori.
h3. Rezolvare
Este evident ca daca facem suma xor a tuturor numerelor, rezultatul va fi numarul ce apare de numar impar de ori. Astfel solutia are complexitatea $O(n)$ ca timp si $O(1)$ ca memorie folosita.
h2(#prob11). Problema 11 ( _Info-Oltenia 2005, clasa a IX-a_ )
Se dau $n$ siruri formate din cifre de la $1$ la $8$ (inclusiv), de lungime maxima $500$. Toate sirurile sunt repetate de $k$ ori sau de multiplu de $k$ ori, cu exceptia unui singur sir, care nu este repetat de $k$ ori, sau de multiplu de $k$ ori. Sa se afiseze sirul care nu se repeta. ( $1 <= n <= 32000, k < 2005$ )
h3. Rezolvare
Putem face o solutie similara cu cea de mai sus. Consideram un tablou $A$ cu $500 * 8$ elemente, fiecare linie $i$ corespunzand cifrelor de pe pozitia $i$ din sirurile de cifre date la intrare. Cand procesam un sir dintre cele date la intrare, daca el are pe pozitia $i$ cifra $j$ atunci incrementam elementul $A[ i ][ j ]$. In acest tablou, pe fiecare linie $i$, toate elementele in afara de unul vor fi $0$ sau multiplu de $k$, iar elementul $A[ i ][ j ]$ care nu e multiplu de $k$ este a $j$-a cifra a numarului care se repeta de un numar de ori ce nu este divizibil cu $k$. Aceasta solutie are complexitate ca timp $O(n*L)$, iar ca spatiu $O(L)$, unde $L$ este lungimea maxima a unui sir de cifre.
h2(#biblio). Bibliografie
*(#fn1) [1]http://mathworld.wolfram.com/VietasFormulas.html
*(#fn2) [2]http://mathworld.wolfram.com/Newton-GirardFormulas.html
*(#fn3) [3]http://en.wikipedia.org/wiki/Floyd's_cycle-finding_algorithm
