Pentru fiecare pozitie $j$, vom defini functia $f{~i,j~}:[d[j],d[N]] -> int.$ O valoare a acestei functii intr-un punct $d[p]$, corespunzator benzinariei $p, f{~i,j~}(d[p])$, reprezinta costul minim pentru a amplasa $i$ depozite in benzinariile $1,2,..,p,$ in conditiile in care al $i$-lea depozit este in benzinaria $p$, iar benzinariile $j, j+1, .., p$ sunt alimentate cu combustibil de la depozitul din benzinaria $p$. Cu aceste definitii, valoarea lui $cmin[ i ][ j ][ 0 ]$ este minimul dintre valorile functiilor $f{~i,j{~1~}~}$, in punctul $d[j]$, cu $0<=j{~1~}<j$, la care se adauga valoarea $a[j]$. Problema importanta este cum aflam minimul dintre aceste functii, fara a calcula valoarea fiecarei functii in punctul $d[j]$ (care ar conduce la o complexitate $O(N^2^*K)$).
Formula unei functii f{~i,j~}(d[p]) este: <tex> \displaystyle cmin[ i-1 ][ j-1 ][ 1 ] + \sum_{q = j}^p c_{q} * (d_{p} - d_{q}) </tex> . Diferenta dintre 2 valori consecutive ale functiei, df{~i,j~}(d[p+1]) = f{~i,j~}(d[p+1]) - f{~i,j~}(d[p]), este egala cu (c[j]+c[j+1] + .. + c[p]) * (d[p+1] - d[p]). Asadar, de la un pas la altul, functiile f{~i,j~} care au un j mai mic cresc mai mult decat cele care corespund unei pozitii j mai mari (altfel spus, functiile care au aparut mai recent cresc mai incet decat functiile care au aparut de mai mult timp) : df{~i,j~}(d[p+1]) < df{~i,j{~1~}~}(d[p+1]), daca j{~1~} < j. De aici tragem urmatoarele concluzii:
Formula unei functii $f{~i,j~}(d[p])$ este: <tex> \displaystyle cmin[ i-1 ][ j-1 ][ 1 ] + \sum_{q = j}^p c_{q} * (d_{p} - d_{q}) </tex> . Diferenta dintre 2 valori consecutive ale functiei, $df{~i,j~}(d[p+1]) = f{~i,j~}(d[p+1]) - f{~i,j~}(d[p])$, este egala cu $(c[j]+c[j+1] + .. + c[p]) * (d[p+1] - d[p])$. Asadar, de la un pas la altul, functiile $f{~i,j~}$ care au un $j$ mai mic cresc mai mult decat cele care corespund unei pozitii $j$ mai mari (altfel spus, functiile care au aparut mai recent cresc mai incet decat functiile care au aparut de mai mult timp) : $df{~i,j~}(d[p+1]) < df{~i,j{~1~}~}(d[p+1])$, daca $j{~1~} < j$. De aici tragem urmatoarele concluzii:
* daca valoarea unei functii f{~i,j~}(d[p+1]) este mai mare decat valoarea unei functii f{~i,j{~1~}~}(d[p+1]), cu j{~1~}>j, atunci functia f{~i,j~} nu va mai avea niciodata valoarea minima dintre toate functiile la nici unul din pasii ulteriori.
* daca valoarea unei functii f{~i,j~}(d[p+1]) este mai mica decat valoarea unei functii f{~i,j{~1~}~}(d[p+1]), cu j{~1~}>j, atunci functia f{~i,j~} va fi 'depasita' de functia f{~i,j{~1~}~} intr-un punct x{~j,j{~1~}~} ; maximul dupa j dinte valorile x{~j,j{~1~}~} reprezinta punctul minim posibil la care functia f{~i,j{~1~}~} va avea valoarea minima dintre toate functiile dinaintea ei.
* daca valoarea unei functii $f{~i,j~}(d[p+1])$ este mai mare decat valoarea unei functii $f{~i,j{~1~}~}(d[p+1])$, cu $j{~1~}>j$, atunci functia $f{~i,j~}$ nu va mai avea niciodata valoarea minima dintre toate functiile la nici unul din pasii ulteriori.
* daca valoarea unei functii $f{~i,j~}(d[p+1])$ este mai mica decat valoarea unei functii $f{~i,j{~1~}~}(d[p+1])$, cu $j{~1~}>j$, atunci functia $f{~i,j~}$ va fi 'depasita' de functia $f{~i,j{~1~}~}$ intr-un punct $x{~j,j{~1~}~}$ ; maximul dupa $j$ dinte valorile $x{~j,j{~1~}~}$ reprezinta punctul minim posibil la care functia $f{~i,j{~1~}~}$ va avea valoarea minima dintre toate functiile dinaintea ei.
Cu aceste observatii, putem folosi un deque in cadrul algoritmului nostru, care contine functiile 'aparute' pana la fiecare pas p. Functiile sunt sortate dupa valoarea lor la pasul p, precum si dupa momentul la care urmeaza sa devina functii cu valoare minima. La fiecare pas p se introduce in deque o functie noua, functia f{~i,p~}. Aceasta va elimina toate functiile care au la pasul p o valoare mai mare decat a ei, precum si acele functii pe care le-ar depasi intr-un punct x mai mic decat momentul minim posibil la care acestea ar putea deveni functii cu valoare minima (pentru ca, astfel, acestea nu vor mai deveni niciodata functii cu valoare minima). De asemenea, la fiecare pas p se elimina din partea din fata a deque-ului functiile pentru care functia de dupa ea are punctul in care devine minima mai mic sau egal cu d[p].
Cu aceste observatii, putem folosi un deque in cadrul algoritmului nostru, care contine functiile 'aparute' pana la fiecare pas $p$. Functiile sunt sortate dupa valoarea lor la pasul $p$, precum si dupa momentul la care urmeaza sa devina functii cu valoare minima. La fiecare pas $p$ se introduce in deque o functie noua, functia $f{~i,p~}$. Aceasta va elimina toate functiile care au la pasul $p$ o valoare mai mare decat a ei, precum si acele functii pe care le-ar depasi intr-un punct $x$ mai mic decat momentul minim posibil la care acestea ar putea deveni functii cu valoare minima (pentru ca, astfel, acestea nu vor mai deveni niciodata functii cu valoare minima). De asemenea, la fiecare pas $p$ se elimina din partea din fata a deque-ului functiile pentru care functia de dupa ea are punctul in care devine minima mai mic sau egal cu $d[p]$.
Pentru a calcula punctul x{~j,j{~1~}~} in care o functie f{~i,j{~1~}~} depaseste o functie f{~i,j~} (j<j{~1~}), trebuie sa calculam urmatoarele valori. Sa presupunem ca ne aflam la pasul p=j{~1~}. Vom calcula dC = f{~i,j{~1~}~}(d[j{~1~}]) - f{~i,j~}(d[j{~1~}]). Vom observa acum ca functiile f{~i,j~} au fost definite pe un interval de distante, deoarece, intre doua distante corespunzatoare a doua benzinarii consecutive, ele se comporta ca niste drepte. La pasul p=j{~1~}, dreapta corespunzatoare functiei f{~i,j~} are o panta egala cu dP=(c[j] + c[j+1] + .. + c[j1-1]), iar dreapta corespunzatoare functiei f{~i,j{~1~}~} are panta 0. In fiecare punct mai mare decat punctul d[j{~1~}], diferenta dintre pantele dreptelor corespunzatoare celor 2 functii in punctul respectiv va ramane constanta si egala cu dP. Se observa
usor ca acest lucru este adevarat, pentru ca pantele dreptelor asociate cresc cu aceeasi valoare in fiecare punct in care se afla localizata o benzinarie. Prin urmare, punctul x in care functia f{~i,j{~1~}~} depaseste functia f{~i,j~} este x=d[j{~1~}] + dC/dP.
Pentru a calcula punctul $x{~j,j{~1~}~}$ in care o functie $f{~i,j{~1~}~}$ depaseste o functie $f{~i,j~} (j<j{~1~})$, trebuie sa calculam urmatoarele valori. Sa presupunem ca ne aflam la pasul $p=j{~1~}$. Vom calcula $dC = f{~i,j{~1~}~}(d[j{~1~}]) - f{~i,j~}(d[j{~1~}])$. Vom observa acum ca functiile $f{~i,j~}$ au fost definite pe un interval de distante, deoarece, intre doua distante corespunzatoare a doua benzinarii consecutive, ele se comporta ca niste drepte. La pasul $p=j{~1~}$, dreapta corespunzatoare functiei $f{~i,j~}$ are o panta egala cu $dP=(c[j] + c[j+1] + .. + c[j1-1])$, iar dreapta corespunzatoare functiei $f{~i,j{~1~}~}$ are panta $0$. In fiecare punct mai mare decat punctul $d[j{~1~}]$, diferenta dintre pantele dreptelor corespunzatoare celor 2 functii in punctul respectiv va ramane constanta si egala cu $dP$. Se observa usor ca acest lucru este adevarat, pentru ca pantele dreptelor asociate cresc cu aceeasi valoare in fiecare punct in care se afla localizata o benzinarie. Prin urmare, punctul $x$ in care functia $f{~i,j{~1~}~}$ depaseste functia $f{~i,j~}$ este $x=d[j{~1~}] + dC/dP$.
h3. Calculul valorilor cmin[ i ][ j ][ 1 ]
h3. Calculul valorilor $cmin[ i ][ j ][ 1 ]$
Calculul valorilor $cmin[ i ][ j ][ 1 ]$ se realizeaza similar cu calculul valorilor $cmin[ i ][ j ][ 0 ]$. Se vor defini niste functii $g{~i,j~}:[csum[j], csum[N]]$, ale caror valori $g{~i,j~}(csum[p])$ vor reprezenta costul minim pentru a amplasa $i$ depozite in benzinariile $[1..p]$, in conditiile in care al $i$-lea depozit este amplasat in benzinaria $j$. Aceste functii sunt definite pe sumele partiale ale cantitatilor de combustibil pentru a putea folosi un rationament asemanator celui prezentat mai sus si a privi fiecare functie ca o dreapta in intervalul dintre sumele partiale corespunzatoare a doua benzinarii consecutive. Panta unei functii $g{~i,j~}$ intr-un punct $csum[j{~1~}] (j{~1~}>j)$ va fi, conform acestor definitii, $d[j{~1~}]-d[j]$.
