h2. 'Plan':problema/plan

Construim graful componentelor tare conexe si in continuare ne vom referi numai la acest graf. Plasam in multimea $X$ nodurile cu grad de intrare 0, iar in multimea $Y$ gradurile cu nod de iesire 0. Vom gasi in continuare un mod de a construi $max(cardX, cardY)$ sosele si este clar ca acest numar e minim deoarece din fiecare nod din $X$ trebuie sa intre macar o muchie, iar din fiecare nod din $Y$ trebuie sa iasa macar o muchie. In continuare ne vom construi un set maximal (atentie, maximal != maxim) de perechi $(x{~1~}, y{~1~}), (x{~2~}, y{~2~}) ... (x{~k~}, y{~k~})$ astfel incat $x{~1~}, x{~2~} .. x{~k~}$ apartin lui $X$ iar $y{~1~}, y{~2~}.. y{~k~}$ apartin lui $Y$. Mai mult exista drum in graf de la $x{~i~}$ la $y{~i~}$. Acest set se poate construi simplu efectuand cate o parcurgere din fiecare nod a lui $X$. Adaugam muchie de la $y{~1~}$ la $x{~2~}$, $y{~2~}$ la $x{~3~}$ ... $y{~k~}$ la $x{~1~}$. In continuare adaugam muchii de la fiecare nod ramas din $Y$ la un nod ramas din $X$ pana cand vom avea noduri doar in $X$ sau doar in $Y$. Pentru acele noduri adaugam o muchie de la ele la $x{~1~}$ sa zicem, sau de la $x{~1~}$ la ele in functie daca sunt din $X$ sau din $Y$. Am adaugat cate muchii ne-am propus, acum sa vedem daca respecta proprietatea ca avem un drum de la orice nod la orice nod. Dupa ce am construit acel set maximal si practic am construit un ciclu adaugand muchiile, nodurile care au mai ramas din multimea $X$ au drum de la ele la un nod din ciclu, iar cele din multimea $Y$ ramase au drum de la un nod din ciclu la ele. Deci cand consideram doua noduri $A$ si $B$, cu $A$ din $X$ si $B$ din $Y$ si dintre cele care au ramas dupa alegerea nodurilor din setul maximal, si tragem muchie de la $B$ la $A$ vom avea drum de la nodurile din ciclu la $A$, la $B$ si de la ele la nodurile din ciclu. Acelasi lucru se intampla si in momentul cand raman noduri doar din $X$ sau doar din $Y$, vom avea drum de la un nod din ciclu la ele si invers. Deci daca consideram un nod oarecare $P$, acest nod fie este pe ciclu, fie exista drum de la el la ciclu si invers, adica exista drum de la el spre toate nodurile si de la toate nodurile spre el. Pentru nodurile care nu sunt din $X$ sau din $Y$ avem macar un drum de la ele la un nod din $Y$ si de la un nod din $X$ la ele, deci respecta proprietatea.

Construim graful componentelor tare conexe si in continuare ne vom referi numai la acest graf. Plasam in multimea $X$ nodurile cu grad de intrare 0, iar in multimea $Y$ nodurile cu grad de iesire 0. Vom gasi in continuare un mod de a construi $max(cardX, cardY)$ sosele si este clar ca acest numar e minim deoarece din fiecare nod din $X$ trebuie sa intre macar o muchie, iar din fiecare nod din $Y$ trebuie sa iasa macar o muchie. In continuare ne vom construi un set maximal (atentie, maximal != maxim) de perechi $(x{~1~}, y{~1~}), (x{~2~}, y{~2~}) ... (x{~k~}, y{~k~})$ astfel incat $x{~1~}, x{~2~} .. x{~k~}$ apartin lui $X$ iar $y{~1~}, y{~2~}.. y{~k~}$ apartin lui $Y$. Mai mult exista drum in graf de la $x{~i~}$ la $y{~i~}$. Acest set se poate construi simplu efectuand cate o parcurgere din fiecare nod a lui $X$. Adaugam muchie de la $y{~1~}$ la $x{~2~}$, $y{~2~}$ la $x{~3~}$ ... $y{~k~}$ la $x{~1~}$. In continuare adaugam muchii de la fiecare nod ramas din $Y$ la un nod ramas din $X$ pana cand vom avea noduri doar in $X$ sau doar in $Y$. Pentru acele noduri adaugam o muchie de la ele la $x{~1~}$ sa zicem, sau de la $x{~1~}$ la ele in functie daca sunt din $X$ sau din $Y$. Am adaugat cate muchii ne-am propus, acum sa vedem daca respecta proprietatea ca avem un drum de la orice nod la orice nod. Dupa ce am construit acel set maximal si practic am construit un ciclu adaugand muchiile, nodurile care au mai ramas din multimea $X$ au drum de la ele la un nod din ciclu, iar cele din multimea $Y$ ramase au drum de la un nod din ciclu la ele. Deci cand consideram doua noduri $A$ si $B$, cu $A$ din $X$ si $B$ din $Y$ si dintre cele care au ramas dupa alegerea nodurilor din setul maximal, si tragem muchie de la $B$ la $A$ vom avea drum de la nodurile din ciclu la $A$, la $B$ si de la ele la nodurile din ciclu. Acelasi lucru se intampla si in momentul cand raman noduri doar din $X$ sau doar din $Y$, vom avea drum de la un nod din ciclu la ele si invers. Deci daca consideram un nod oarecare $P$, acest nod fie este pe ciclu, fie exista drum de la el la ciclu si invers, adica exista drum de la el spre toate nodurile si de la toate nodurile spre el. Pentru nodurile care nu sunt din $X$ sau din $Y$ avem macar un drum de la ele la un nod din $Y$ si de la un nod din $X$ la ele, deci respecta proprietatea.

h2. 'Numar de Divizori':problema/ndiv