Construim graful componentelor tare conexe si in continuare ne vom referi numai la acest graf. Plasam in multimea $X$ nodurile cu grad de intrare 0, iar in multimea $Y$ gradurile cu nod de iesire 0. Vom gasi in continuare un mod de a construi $max(cardX, cardY)$ sosele si este clar ca acest numar e minim deoarece din fiecare nod din $X$ trebuie sa intre macar o muchie, iar din fiecare nod din $Y$ trebuie sa iasa macar o muchie. In continuare ne vom construi un set maximal (atentie, maximal != maxim) de perechi $(x{~1~}, y{~1~}), (x{~2~}, y{~2~}) ... (x{~k~}, y{~k~})$ astfel incat $x{~1~}, x{~2~} .. x{~k~}$ apartin lui $X$ iar $y{~1~}, y{~2~}.. y{~k~}$ apartin lui $Y$. Mai mult exista drum in graf de la $x{~i~}$ la $y{~i~}$. Acest set se poate construi simplu efectuand cate o parcurgere din fiecare nod a lui $X$. Adaugam muchie de la $y{~1~}$ la $x{~2~}$, $y{~2~}$ la $x{~3~}$ ... $y{~k~}$ la $x{~1~}$. In continuare adaugam muchii de la fiecare nod ramas din $Y$ la un nod ramas din $X$ pana cand vom avea noduri doar in $X$ sau doar in $Y$. Pentru acele noduri adaugam o muchie de la ele la $x{~1~}$ sa zicem, sau de la $x{~1~}$ la ele in functie daca sunt din $X$ sau din $Y$. Am adaugat cate muchii ne-am propus, acum sa vedem daca respecta proprietatea ca avem un drum de la orice nod la orice nod. Dupa ce am construit acel set maximal si practic am construit un ciclu adaugand muchiile, nodurile care au mai ramas din multimea $X$ au drum de la ele la un nod din ciclu, iar cele din multimea $Y$ ramase au drum de la un nod din ciclu la ele. Deci cand consideram doua noduri $A$ si $B$, cu $A$ din $X$ si $B$ din $Y$ si dintre cele care au ramas dupa alegerea nodurilor din setul maximal, si tragem muchie de la $B$ la $A$ vom avea drum de la nodurile din ciclu la $A$, la $B$ si de la ele la nodurile din ciclu. Acelasi lucru se intampla si in momentul cand raman noduri doar din $X$ sau doar din $Y$, vom avea drum de la un nod din ciclu la ele si invers. Deci daca consideram un nod oarecare $P$, acest nod fie este pe ciclu, fie exista drum de la el la ciclu si invers, adica exista drum de la el spre toate nodurile si de la toate nodurile spre el.
h2. 'Numar de Divizori':problema/ndiv
h2. 'Numar de Divizori':problema/ndiv
Se afla solutia pentru intervalul [1, A] si [1, B-1] si se face diferenta. Pentru un interval [1, N] si un numar X, se afla numarul de numere din interval care se divid la X prin aflarea catului N / X. O simpla solutie ar fi pentru fiecare X = 1 ... N se face suma lui N / X. Evident nu intra in timp. Daca se scrie sirul N / X cu X de la 1 la N se observa ca termenii sirului sunt in ordine descrescatoare. De exemplu sa vedem pentru N = 12, vom avea sirul N / X : 12 / 1, 12 / 2, 12 / 3 ... 12 / 12 care este 12, 6, 4, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1. Solutia se bazeaza pe faptul ca aceste numere se repeta pe anumite intervale. Astfel se iau toate numerele i de la 1 la sqrt(N) si se vor tine intr-un vector sortate valorile: i si N / i. Acum pentru doua pozitii consecutive in acest vector vom avea doua valori: X1 si X2 si N / X1 = N / X2. Si orice numar din intervalul [X1, X2], sa zicem Y va avea N / Y = N / X1. Acum se iau toate 2 pozitii consecutive in vectorul format si se aduna la solutie ( N / X1 ) * lungimea intervalului care este X2 - X1 + 1. Complexitatea va fi O(sqrt(N)).
