Inverseaza reviziile

Diferente pentru automate-finite-si-kmp intre reviziile #19 si #44

Diferente intre #18 si #19

Nu exista diferente intre titluri.

Diferente intre continut:

h1. Automate finite si KMP

(Creat de ==user(user="azotlichid" type="tiny")== la data de _2005-01-12_ categoria _Automate_, autor(i) _Vladu Adrian_)

(Categoria _Algoritmi_, Autor _Adrian Vladu_)

In acest articol vom aborda cele mai comune probleme legate de pattern matching si vom oferi suportul teoretic necesar intelegerii algoritmului Knuth-Morris-Pratt, pornind de la potrivirea standard cu automate finite si rafinand-o treptat pana la un algoritm de complexitate {$O(n + m)$}. Toate acestea intr-o maniera usor de inteles ;)

==Include(page="template/raw")==
 

h2. Automate finite
h3. Ce sunt automatele finite ?

Un automat finit este definit ca un cvintuplu {@<@}{$Q, q{~0~}, A, &#0931;, &#0948;$}{@>@} unde $Q$ este o multime finita de stari {$Q = {q{~0~}, q{~1~}, ... q{~n~}}$}, $q{~0~}$ apartine $Q$ ({$q{~0~}$} = stare initiala), $A$ inclus in $Q$ ({$A$} = multimea starilor de acceptare), $&#0931;$ este un alfabet, iar functia {$&#0948; : Q x S -> Q$}.

Un automat finit este definit ca un cvintuplu {@<@}{$Q, q{~0~}, A, &#0931;, &#0948;$}{@>@} unde $Q$ este o multime finita de stari {$Q = {q{~0~}, q{~1~}, ... q{~n~}}$}, $q{~0~}$ apartine $Q$ ({$q{~0~}$} = stare initiala), $A$ inclus in $Q$ ({$A$} = multimea starilor de acceptare), $&#0931;$ este un alfabet, iar functia {$&#0948; : Q x &#0931; -> Q$} este functia de tranzitie a automatului.

Aceasta este definitia matematica si foarte abstractizata a automatelor. Pentru a le intelege mai usor, sa luam un exemplu concret

!http://www.infoarena.ro/Automate_finite_si_KMP?action=download&file=dfa.jpg!

!Automate-finite-si-KMP?dfa.jpg!

* $Q = {q{~0~}, q{~1~}, q{~2~}, q{~3~}}$
* $A = {q{~3~}}$

* $k = 2; &#0948;(2, b) = 0;$
* $k = 0; &#0948;(0, a) = 1;$
* $k = 1; &#0948;(1, b) = 1;$

* $k = 2; &#0948;(1, a) = 3;$

* $k = 1; &#0948;(1, a) = 3;$

Daca ultima stare obtinuta $q{~k~}$ apartine {$A$}, atunci spunem ca automatul accepta stringul. Altfel spus, daca avem stringul {$s$}, {$lungime(s) = n$}, automatul accepta stringul daca si numai daca $&#0948;( ... &#0948;( &#0948;(0, s{~1~}), s{~2~} ) ..., s{~n~} )$ apartine {$A$}.

Stringurile '{$aa$}', '{$aaaaaaa$}', '{$aabababab$}', '{$aaaba$}', '{$ba$}', '{$aba$}' sunt acceptate de automat, dar '{$ba$}', '{$abbbbbb$}', '{$bba$}' nu.

Stringurile '{$aa$}', '{$aaaaaaa$}', '{$aabababab$}', '{$aaaba$}', '{$ba$}', '{$aba$}' sunt acceptate de automat, dar '{$abbbbbb$}', '{$bba$}' nu.

h3. La ce folosesc ?

== code(c) |
n = lungime(N)

m = lungime(M)

q = 0;

pt i <- 1, n

pt i <- 1, m

    q = d(q, M[i])
    daca q apartine A
        scrie "potrivire la pozitia " i - n + 1

h2. Algoritmul KMP

Gaseste toate aparitiile un string N in M in timp O(n + m), unde n = lungime(N), m = lungime(M). O parte esentiala a sa este functia prefix p : {1..n} -> {0..n-1} unde p[i] = cel mai lung prefix al lui M care este sufix al lui Mi. Evident, Mp[i] (prefixul de lungime p[i] al lui M) prefix al lui Mi, deci p[i] < i.

Gaseste toate aparitiile unui string $N$ in $M$ in timp {$O(n + m)$}, unde {$n = lungime(N)$}, {$m = lungime(M)$}. O parte esentiala a sa este functia prefix $&pi; : {1..n} -> {0..n-1}$ unde $&pi;{~i~}$ = cel mai lung prefix al lui $M$ care este sufix al lui {$M{~i~}$}. Evident, $M{~&pi;{~i~}~}$ (prefixul de lungime $&pi;{~i~}$ al lui {$M$}) este prefix al lui {$M{~i~}$}, deci {$&pi;{~i~} < i$}.

h3. Algoritm_calcul_functie_prefix

1: n <- lungime(N)
2: k <- 0
3: p[1] <- 0
4: pt i <- 2, n
5: cat timp (k > 0) si (N[k + 1] ** N[i])
6: k <- p[k]
7: daca N[k + 1] = N[i]
8: k <- k + 1
9: p[i] <- k
 
Analiza complexitatii :
- la fiecare pas (i = 2, n) k se incrementeaza cel mult o data, deci pe parcursul algoritmului k se va incrementa de cel mult n - 1 ori (linia 8)
- in linia 5, k se decrementeaza cel mult pana devine 0, deci se va decrementa de cel
mult n - 1 ori pe parcursul algoritmului
 
=> Complexitate : O(n)
 
Algoritmul este similar cu constructia automatului de acceptare. Din fiecare stare i in care s-a acceptat Ni, vedem cat de mult putem lua de la sfarsitul lui Ni astfel incat sufixul respectiv sa fie prefix pentru N. De remarcat ca in cazul in care starea candidata k nu este buna, nu mergem in k - 1, ci in p[k]. Aceasta este de fapt "magia" care ofera complexitate liniara.
 
Algoritmul de potrivire este similar celui al calculului functiei prefix, numai ca aici la fiecare pas i cautam cel mai lung prefix al lui N care este sufix al lui Mi.
 
 

== code(c) |
n <- lungime(N)
k <- 0
pi[1] <- 0
pt i <- 2, n
    cat timp (k > 0) si (N[k + 1] != N[i])
        k <- pi[k]
    daca N[k + 1] = N[i]
        k <- k + 1
    pi[i] <- k
==

h3. Algoritm_potrivire_KMP

h4.  Analiza complexitatii :

1: m <- lungime(M), n <- lungime(N)
2: q <- 0
3: pt i <- 1, m
4: cat timp (q > 0) si (N[q + 1] ** M[i])
5: q <- pi[q]
6: daca N[q + 1] = M[i]
7: q <- q + 1
8: daca q = n
9: scrie "potrivire la pozitia " i - n + 1

* la fiecare pas ({$i = 2, n$}) $k$ se incrementeaza cel mult o data, deci pe parcursul algoritmului $k$ se va incrementa de cel mult $n - 1$ ori (linia {$8$})
* in linia {$5$}, $k$ se decrementeaza cel mult pana devine {$0$}, deci se va decrementa de cel
mult $n - 1$ ori pe parcursul algoritmului
* {=>} Complexitate : $O(n)$
Algoritmul este similar cu constructia automatului de acceptare. Din fiecare stare $i$ in care s-a acceptat {$N{~i~}$}, vedem cat de mult putem lua de la sfarsitul lui {$N{~i~}$} astfel incat sufixul respectiv sa fie prefix pentru {$N$}. De remarcat ca in cazul in care starea candidata $k$ nu este buna, nu mergem in {$k - 1$}, ci in {$&pi;{~k~}$}. Aceasta este de fapt "magia" care ofera complexitate liniara.
Algoritmul de potrivire este similar celui al calculului functiei prefix, numai ca aici la fiecare pas $i$ cautam cel mai lung prefix al lui $N$ care este sufix al lui {$M{~i~}$}.

Analog Algoritm_Calcul_Functie_Prefix, complexitatea algoritmului efectiv de potrivire este O(m). Astfel rezulta complexitatea liniara a algoritmului KMP O(n + m)
Teme pentru acasa:
- folosind functia prefix, rafinati constructia automatului finit de acceptare pt un string, aducand-o la complexitatea O(m^2 * |S|)
- problema "[1]Microvirus" (hint : construiti automatul de potrivire pentru stringul dat)
- Timus 1158

h3. Algoritm_potrivire_KMP
== code(c) |
m <- lungime(M), n <- lungime(N)
q <- 0
pt i <- 1, m
    cat timp (q > 0) si (N[q + 1] != M[i])
        q <- pi[q]
    daca N[q + 1] = M[i]
        q <- q + 1
    daca q = n
        scrie "potrivire la pozitia " i - n + 1
==
Analog Algoritm_Calcul_Functie_Prefix, complexitatea algoritmului efectiv de potrivire este {$O(m)$}. Astfel rezulta complexitatea liniara a algoritmului KMP $O(n + m)$

References

h2. Teme pentru acasa:

Visible links
1. http://www.liis.ro/%7ecampion/problems/2/64/microvirus.htm

* folosind functia prefix, rafinati constructia automatului finit de acceptare pentru un string, aducand-o la complexitatea $O(m^2^ * |&#0931;|)$
* problema "Microvirus":http://www.liis.ro/%7ecampion/problems/2/64/microvirus.htm (hint : construiti automatul de potrivire pentru stringul dat)
* Timus 1158: "Censored!":http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1158

Nu exista diferente intre securitate.

Diferente intre topic forum:

 

3698