h1. Notiuni elementare de geometrie si aplicatii
h1. Notiuni de geometrie si aplicatii
(Categoria _Geometrie_, Autori _Savin Tiberiu_ si _Sima Mihai Cotizo_)
(Categoria _Geometrie_, autori _Savin Tiberiu_ si _Sima Mihai Cotizo_)
(toc){width: 27em}*{text-align:center} *Conţinut:*
* '**0. Introducere**':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii#introducere
* '1. Arii':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/arii
** '- triunghi':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/arii#triunghi
** '- patrulater':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/arii#patrulater
** '- poligon':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/arii#poligon
* '2. Drepte':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/drepte
** '- elemente generale':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/drepte#general
** '- ecuaţii':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/drepte#ecuatii
** '- distanţa punct-linie':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/drepte#dpl
** '- distanţa punct-segment(semidreaptă)':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/drepte#dps
* '3. Punct în poligon':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/punct-in-poligon
** '- crossing-number':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/punct-in-poligon#cn
** '- winding-number (?)':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/punct-in-poligon#wn
** '- şmenuri':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/punct-in-poligon#smen
* '4. Intersecţii de drepte şi segmente':notiuni-de-geometrie-si-aplicati/intersectii-drepte-si-segmente
* 5. Distanţe
** - între linii
** - între segmente şi semidrepte
** - cea mai mică distanţă între două mobile
* 6. Bounding ...
** - ... box
** - ... circle
* '7. Infaşurătoare convexă':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/infasuratoare-convexa
* 8. Puncte extreme şi distanţa poligon-linie
* 9. Tangente
* 10. Probleme de concurs
h2. 1.Drepte
h2(#introducere). 0. Introducere
h3. +Ecuatiile dreptelor+
**Geometria** (din greaca veche - {_geo_}=pământ, {_metria_}=a măsura) este partea matematicii care se ocupă cu problemele privind dimensiunile, forma şi poziţia figurilor. Introducerea coordonatelor de către René Descartes a dus la dezvoltarea geometriei analitice, a cărei scop devine studierea geometriei prin funcţii şi ecuaţii.
Ecuatia unei drepte reprezinta o relatie care este respecatata de toate punctele aflate pe dreapta. Forma generala a ecuatiei unei drepte in sistemul xOy este:
În problemele de olimpiadă este necesară cunoaşterea câtorva noţiuni şi idei de bază pentru a facilita găsirea unui algoritm eficient într-un timp scurt. Prezentul articol are ca scop explicarea acestor noţiuni privitoare la geometria plană (2D) şi studierea câtorva idei aplicate în problemele de concurs.
$d: a*x+b*y+c=0$
In cazul in care dreapta nu este in plan se va adauga un coeficient nou la ecuatie pentru fiecare dimensiune, de exemplu pentru o dreapta in spatiu ecuatia ei va fi :
$d: a*x+b*y+c*z+d=0;$
Pentru simplitate de aici inainte ne vom referi numai la drepte in plan. De mentionat este faptul ca daca trecem pe $y$ in partea dreapta si impartim prin -b (consideram un caz general, nu cel nefericit in care b=0), obtinem:
$d: y = (-a/b)*x + (-c/b)$, care se mai scrie si $d: y=m*x+n$, unde $m=-a/b$ este denumita "panta dreptei", si reprezinta tangenta unghiului pe care il face dreapta cu Ox.
De asemenea, fiind date doua puncte $A(x{~1~},y{~1~})$ si $B(x{~2~},y{~1~})$, ecuatia dreptei determinate de ei se poate scrie:
$d: (x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1)$.
Aceasta poate sa nu ne fie de foarte mult ajutor, dar facand produsul mezilor cu extremii si desfacand parantezele vom obtine:
$d: (y{~2~}-y{~1~})*x + (x{~1~}-x{~2~})*y + (y{~1~}x{~2~}-y{~2~}x{~1~}) = 0$, de unde putem deduce foarte usor cine sunt $a$, $b$, $c$ din scrierile precedente.
Se poate ridica intrebarea "de ce toate ecuatiile sunt (in general) egale cu 0?". Raspunsul este unul extrem de simplu: _dreptele sunt locuri geometrice_ (multimi de puncte cu aceeasi proprietate) _pentru care ecuatia respectiva este egala cu $0$_. De asemenea, se stie ca orice dreapta imparte planul in 2 semiplane : cel cu puncte pentru care daca aplicam ecuatia, vom obtine o valoare strict pozitiva, iar cel pt care vom obtine o valoare strict negativa. De aceea, daca avem o dreapta data prin 2 puncte $A(x{~1~},y{~1~})$ si $B(x{~2~},y{~2~})$ de pe aceasta, atunci punctul $C(x{~3~},y{~3~})$ va apartine dreptei $AB$ daca si numai daca:
$x{~1~}$ $y{~1~}$ $1$
det. $x{~2~}$ $y{~2~}$ $1$ = 0
$x{~3~}$ $y{~3~}$ $1$
h3. +Punctul de intersectie a 2 drepte+
Dupa cum am vazut o dreapta reprezinta un loc geometric. Sa zicem ca avem 2 drepte $d{~1~}$ si $d{~2~}$ si dorim sa aflam punctul $A(x,y)$ cu propietatea ca acesta apartine atat dreptei $d{~1~}$ cat si dreptei $d{~2~}$. Scriem ecuatiile celor 2 drepte:
$a{~1~}*x + b{~1~}*y + c{~1~}=0$
$a{~2~}*x + b{~2~}*y + c{~2~}=0$
Am ajuns astfel la un sistem de $2$ ecuatii cu $2$ necunoscute. Pentru a ajunge la niste formule mai directe de calculare a celor $2$ coordonare vom inmulti prima relatie cu $b{~2~}$ si pe cea de-a doua cu $b{~1~}$.
$a{~1~}*b{~2~}*x + b{~1~}*b{~2~}*y + c{~1~}*b{~2~}=0$
$a{~2~}*b{~1~}*x + b{~1~}*b{~2~}*y + c{~2~}*b{~1~}=0$
Scadem cele doua relatii si ajungem la o singura ecuatie cu o singura necunoscuta:
$(a{~1~}*b{~2~} - a{~2~}*b{~1~})*x + c{~1~}*b{~2~} - c{~2~}*b{~1~}=0$ <=>
x= $(c{~2~}*b{~1~} - c{~1~}*b{~2~})/(a{~1~}*b{~2~} - a{~2~}*b{~1~})$
Odata ce l-am aflat pe $x$, descoperirea celeilalte coordonate e destul de triviala:
$a{~1~}*x+b{~1~}*y+c{~1~}=0$ <=>
$y=(-c{~1~}-a{~1~}*x)/b{~1~}$
h2. 2.Distante
h3. +Distanta dintre 2 puncte+
Consideram $2$ puncte $A(x{~1~},y{~1~})$ si $B(x{~2~},y{~2~})$, si vrem sa aflam distanta dintre ele. Pentru a face acest lucru construim un al treilea punct $C(x{~2~},y{~1~}) si observam ca triunghiul ACB este dreptunghic iar distanta dintre punctele $AB$ este intocmai ipotenuza acestui triunghi. Folosind "teorema lui Pitagora":http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTheorem.html ajunge la urmatoarea formula:
$d= √(x2-x1)*(x2-x1)+(y2 - y1)*(y2 - y1)$
h3. +Distanta dintre un punct si o dreapta+
Sa zicem ca avem un punct $A$ si o dreapta $d{~1~}$ si vrem sa aflam distanta dintre acestea. Inainte trebuie sa stim cateva propietati ale dreptelor:
1. Panta unei drepte este egala cu $(y{~1~}-y{~2~})/(x{~1~}-x{~2~})=0$, unde punctele $(x{~1~},y{~1~})$ si $((x{~2~},y{~2~})$ apartin dreptei
2. Doua drepte perpendiculare au produsul pantelor egal cu $-1$
3. Doua drepte paralele au pantele egale
In problema noasta nu vom folosi a treia propietate dar poate ne va fi de ajutor in viitor. Pentru a calcula distanta care ne trebuie noua vom calcula panta dreptei $d{~1~}$ notata cu $m{~1~}$. Acum vrem sa construim o dreapta $d{~2~}$ perpendiculara pe dreapta $d{~1~}$ care trece prin punctul $A$. Stim ca $m{~1~}*m{~2~}=0$ si de aici aflam usor $m{~2~}$ (panta dreptei $d{~2~}$). In acest moment avem panta dreptei $d{~2~}$ si un punct care ii apartine. Avand aceste 2 informatii putem sa calculam usor ecuatia ei si punctul de intersectie cu dreapta $d{~1~}$ ({_Vezi capitolul Drepte_}). Distanta dintre dreapta si punct va fi egala cu distanta dintre punct si punctul de intersectie al celor $2$ drepte.
De asemenea exista si o formula pt a determina distanta de la un punct la o dreapta: considerand punctul $A(x,y)$ si dreapta $d: ax+by+c=0$, vom avea :
h3. +Distanta dintre un punct si un segment+
Sa presupunem un punct $A(x{~1~},y(~1~))$ si un segment determinat de punctele $B(x{~2~},y(~2~))$ si $C(x{~3~},y(~3~))$ si vrem sa aflam distanta dintre punct si segment.
$d$=min(dist({$A$},{$B$}),dist({$A$},{$C$})) in cazul in care perpendiculara din punctul $A$ pe dreapta $BC$ *nu* cade in interiorul segmentului $BC$, altfel distanta va fi egala cu distanta dintre punctul $A$ si dreapta $BC$, lucru care l-am tratat mai sus.
