<tex>a_1*x + b_1 * y + c_1 = 0</tex>
<tex>y = \frac{-c_1 - a_1 * x}{b_1}</tex>

*TODO:* Fractiile arata prea mici cu LaTeX. Asta trebuie fixat cumva.

h3. Panta unei drepte
Panta unei drepte se poate defini ca fiind tangenta unghiului facut de dreapta cu orizontala, mai exact cu orice dreapta paralela cu axa $OX$. Ea se calculeaza astfel:

!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=panta.gif!

<tex>m = \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}</tex> sau <tex>m = -\frac{a}{b}</tex>

sau

In a doua ecuatie $a$ si $b$ reprezinta coeficientii ecuatiei dreptei respective

!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=ecuatie005.gif!

<tex>(d): a*x + b*y + c = 0</tex>

In a doua ecuatie $a$ si $b$ reprezinta coeficienti ecuatiei dreptei respective
 
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=ecuatie001.gif!
 
 
Propietati:

Proprietati:

 {*} Doua drepte care au pantele egale sunt ori paralele ori confundate.
 {*} Doua drepte care au produsul pantelor egal cu $-1$ sunt perpendiculare.

h2. 2.Distante

h2. Distante

h3. +Distanta dintre 2 puncte+

h3. Distanta dintre 2 puncte

Consideram $2$ puncte $A(x{~1~},y{~1~})$ si $B(x{~2~},y{~2~})$, si vrem sa aflam distanta dintre ele. Pentru a face acest lucru construim un al treilea punct $C(x{~2~},y{~1~})$ si observam ca triunghiul $ACB$ este dreptunghic iar distanta dintre punctele $AB$ este intocmai ipotenuza acestui triunghi. Folosind "teorema lui Pitagora":http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTheorem.html ajunge la urmatoarea formula:

!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=ecuatie008.gif!

<tex>d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}</tex>

 
h3. +Distanta dintre un punct si o dreapta+

h3. Distanta dintre un punct si o dreapta

Pentru a calcula distanta care ne trebuie noua vom calcula panta dreptei $d{~1~}$ notata cu $m{~1~}$. Acum vrem sa construim o dreapta $d{~2~}$ perpendiculara pe dreapta $d{~1~}$ care trece prin punctul $A$. Stim ca $m{~1~}*m{~2~}=-1$ si de aici aflam usor $m{~2~}$ (panta dreptei $d{~2~}$). In acest moment avem panta dreptei $d{~2~}$ si un punct care ii apartine. Avand aceste 2 informatii putem sa calculam usor ecuatia ei si punctul de intersectie cu dreapta $d{~1~}$ ({_Vezi capitolul Drepte_}). Distanta dintre dreapta si punct va fi egala cu distanta dintre punct si punctul de intersectie al celor $2$ drepte.
De asemenea exista si o formula pt a determina distanta de la un punct la o dreapta: considerand punctul $A(x,y)$ si dreapta $d: ax+by+c=0$, vom avea :

h3. +Distanta dintre un punct si un segment+

h3. Distanta dintre un punct si un segment

Sa presupunem un punct $A(x{~1~},y{~1~})$ si un segment determinat de punctele $B(x{~2~},y{~2~})$ si $C(x{~3~},y{~3~})$ si vrem sa aflam distanta dintre punct si segment.
$D$=min(dist({$A$},{$B$}),dist({$A$},{$C$})) in cazul in care perpendiculara din punctul $A$ pe dreapta $BC$ *nu* cade in interiorul segmentului $BC$, altfel distanta va fi egala cu distanta dintre punctul $A$ si dreapta $BC$, lucru care l-am tratat mai sus.

h2. 3.Arii

h2. Arii

h3. +Aria unui triunghi+

h3. Aria unui triunghi

Aria unui triunghi determinat de punctele $A(x{~1~},y{~1~})$, $B(x{~2~},y{~2~})$ si $C(x{~3~},y{~3~})$ este egala cu :

<tex>A=abs( \frac{1}{2}*\left| \begin{array}{ccc}
\ x{~1~}& y{~1~}& 1\\
x{~2~}& y{~2~}& 1\\
x{~3~}& y{~3~}& 1\end{array} \right| )

<tex>A = \frac{1}{2} * abs \left( \left| \begin{array}{ccc}
\ x_1 & y_1 & 1\\
x_2 & y_2 & 1\\
x_3 & y_3 & 1\end{array} \right| \right)

</tex>
Unde $abs(x)$ reprezinta valoarea absoluta a lui $x$. Determinantul de mai sus poate fi folosit si pentru a vedea daca cele $3$ puncte sunt in sens invers sau direct trigonometric, el fiind negativ in cazul in care punctele sunt in sens invers trigonometric.

h3. +Aria unui poligon+

h3. Aria unui poligon

Aria unui poligon convex cu $n$ laturi o putem calcula foarte usor folosind formula pentru aria unui triunghi astfel.

h2. Probleme rezolvate

h3. +Infasuratoarea convexa+

h3. Infasuratoarea convexa

Enuntul problemei: Se da un set de puncte in plan, sa se determine un poligon convex de arie minima care contine toate punctele in interiorul sau.
Rezolvare: O posibila solutie este sa fixam punctul cu abscisa minima si sa translatam toate punctele pana cand acesta ajunge in punctul de coordonate $(0,0)$. Acum vom sorta punctele dupa formula <tex> \frac{y}{x} </tex> unde $x$ si $y$ sunt coordonatele punctului, iar in caz de egalitate dupa distanta fata de punctul $(0,0)$. In cazul nefericit in care $x=0$ vom considera ca <tex> \frac{y}{x} = INF </tex>. Apoi vom parcurge punctele in ordine si le vom introduce intr-o stiva. Inainte sa introducem un punct in stiva trebuie insa sa ne uitam daca nu cumva punctele $st[vf-1] , st[vf]$ si $P$ sunt in ordine invers trigonometrica ( $st$ - stiva, $vf$ - varful stivei, $P$ - punctul curent). Aici ne vom folosi de o alta proprietate a determinantului cu ajutorul caruia determinam aria unui triunghi. Mai exact vom calcula
<tex>D=\left| \begin{array}{ccc}

\ x{~1~}& y{~1~}& 1\\
x{~2~}& y{~2~}& 1\\
x{~3~}& y{~3~}& 1\end{array} \right|

\ x_1 & y_1 & 1\\
x_2 & y_2 & 1\\
x_3 & y_3 & 1\end{array} \right|

</tex>
pentru $st[vf-1] = (x{~1~}.y{~1~}) , st[vf]= (x{~2~},y{~3~}), P(x{~3~},y{~3~})$. Daca $D$ este negativ atunci inseamna ca unghiul cu originea in $st[vf]$ face o intoarcere la dreapta si trebuie scos din stiva. Repetam procedeul pana cand ramanem cu un singur punct in stiva sau pana cand intalnim un $D >= 0$ dupa care adaugam punctul in stiva. Dupa ce am terminat e posibil ca poligonul nostru inca sa fie convex deoarece nu am verificat unghiul care are originea in $st[vf]$, asa ca il vom calcula pe $D$ pentru punctele $st[vf-1],st[vf],st[ 1 ]$ si vom scoate punctul din varf atata timp cat $D$ va fi negativ. Punctele ramase reprezinta infasuratoarea convexa a setului de puncte primite la intrare.

 
 
(TODO) Adaugati si centru de greutate a unui poligon si eventual explicati de ce merge formula de mai sus pt aria unui poligon concav.

*Feedback (Stefan):* Articolul trebuie imbracat intr-o forma mai prezentabila. Nu trebuie sa ramana doar o lista de formule si schelete de probleme. De asemenea, trebuie compactat si eliminate spatiile mari care il fac greu de citit.
*TODO:* Adaugati si centru de greutate a unui poligon si eventual explicati de ce merge formula de mai sus pt aria unui poligon concav.

sugestii de probleme de adaugat