h1. Notiuni de geometrie si aplicatii
h1. Notiuni elementare de geometrie si aplicatii
(Categoria _Geometrie_, autori _Savin Tiberiu_ si _Sima Mihai Cotizo_)
(Categoria _Geometrie_, Autori _Savin Tiberiu_ si _Sima Mihai Cotizo_)
h2. 1.Drepte
h2. Drepte
h3. +Ecuatiile dreptelor+
h3. Ecuatiile dreptei
Ecuatia unei drepte reprezinta o relatie care este respecatata de toate punctele aflate pe dreapta. Forma generala a ecuatiei unei drepte in sistemul xOy este:
Ecuatia unei drepte reprezinta o relatie care este respectata de toate punctele aflate pe dreapta. Forma generala a ecuatiei unei drepte in sistemul $xOy$ este
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=ecuatie001.gif!
In cazul in care dreapta nu este in plan se va adauga un coeficient nou la ecuatie pentru fiecare dimensiune, de exemplu pentru o dreapta in spatiu ecuatia ei va fi :
<tex>(d): a*x + b*y + c = 0</tex>
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=ecuatie002.gif!
In cazul in care dreapta nu este in plan, se va adauga un coeficient nou la ecuatie pentru fiecare dimensiune. De exemplu, pentru o dreapta in spatiu, ecuatia ei va fi
Pentru simplitate de aici inainte ne vom referi numai la drepte in plan. De mentionat este faptul ca daca trecem pe $y$ in partea dreapta si impartim prin $-b$ (consideram un caz general, nu cel nefericit in care $b=0$), obtinem:
<tex>(d): a*x + b*y + c*z + d = 0</tex>
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=ecuatie003.gif!
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=ecuatie004.gif!
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=ecuatie005.gif!
*Feedback (Stefan):* Ai cam incurcat treburile. Asta e ecuatia planului. :)
De asemenea, fiind date doua puncte $A(x{~1~},y{~1~})$ si $B{x{~2~},y{~2~})$, ecuatia dreptei determinate de ei se poate scrie:
Pentru simplitate, de aici inainte ne vom referi numai la drepte in plan. De mentionat este faptul ca daca trecem pe $y$ in partea dreapta si impartim prin $-b$ (consideram un caz general, nu cel nefericit in care $b=0$), obtinem:
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=ecuatie006.gif!
<tex>(d): y = \frac{(-a)}{b}*x + \frac{(-c)}{b}</tex>
Aceasta poate sa nu ne fie de foarte mult ajutor, dar facand produsul mezilor cu extremii si desfacand parantezele vom obtine:
<tex>(d): y = m*x + n</tex>, unde <tex>m=-\frac{a}{b}, n=-\frac{c}{b}</tex>
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=ecuatie007.gif!, de unde putem deduce foarte usor cine sunt $a$, $b$, $c$ din scrierile precedente.
De asemenea, fiind date doua puncte $A(x{~1~}, y{~1~})$ si $B(x{~2~}, y{~2~})$, ecuatia dreptei determinate de ele se poate scrie
Se poate ridica intrebarea "de ce toate ecuatiile sunt (in general) egale cu 0?". Raspunsul este unul extrem de simplu: _dreptele sunt locuri geometrice_ (multimi de puncte cu aceeasi proprietate) _pentru care ecuatia respectiva este egala cu $0$_. De asemenea, se stie ca orice dreapta imparte planul in $2$ semiplane : cel cu puncte pentru care daca aplicam ecuatia, vom obtine o valoare strict pozitiva, iar cel pt care vom obtine o valoare strict negativa. De aceea, daca avem o dreapta data prin 2 puncte $A(x{~1~},y{~1~})$ si $B{x{~2~},y{~2~})$ de pe aceasta, atunci punctul $C{x{~3~},y{~3~})$ va apartine dreptei $AB$ daca si numai daca:
<tex>(d): \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}</tex>
Aceasta poate sa nu ne fie de prea mare ajutor, dar facand produsul mezilor cu extremii si desfacand parantezele vom obtine <tex>(d): (y_1-y_2)*x + (x_2-x_1)*y + (x_1*y_2-x_2*y_1) = 0</tex>, de unde putem deduce foarte usor cine sunt $a$, $b$, $c$ din scrierile precedente.
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=determinant001.gif!
Se poate ridica intrebarea "de ce toate ecuatiile sunt (in general) egale cu 0?". Raspunsul este unul extrem de simplu: _dreptele sunt locuri geometrice_ (multimi de puncte cu aceeasi proprietate) _pentru care ecuatia respectiva este egala cu $0$_. De asemenea, se stie ca orice dreapta imparte planul in 2 semiplane: cel cu puncte pentru care, daca aplicam ecuatia, vom obtine o valoare strict pozitiva, si cel pentru care vom obtine o valoare strict negativa. De aceea, daca avem o dreapta data prin 2 puncte $A(x{~1~}, y{~1~})$ si $B(x{~2~}, y{~2~})$ de pe aceasta, atunci punctul $C(x{~3~}, y{~3~})$ va apartine dreptei $AB$ daca si numai daca
h3. +Punctul de intersectie a 2 drepte+
<tex>\left| \begin{array}{ccc}
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right| = 0</tex>
Dupa cum am vazut o dreapta reprezinta un loc geometric. Sa zicem ca avem 2 drepte $d{~1~}$ si $d{~2~}$ si dorim sa aflam punctul $A(x,y)$ cu propietatea ca acesta apartine atat dreptei $d{~1~}$ cat si dreptei $d{~2~}$. Scriem ecuatiile celor 2 drepte:
*Feedback (Stefan):* Pare destul de trivial/pueril/nefondat raspunsul la intrebarea "de ce toate ecuatiile sunt (in general) egale cu 0?". Se poate gasi o motivatie mai buna sau se poate renunta la ea.
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=sistem01!
h3. Punctul de intersectie a 2 drepte
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=sistem02!
Dupa cum am vazut, o dreapta reprezinta un loc geometric. Sa zicem ca avem 2 drepte $d{~1~}$ si $d{~2~}$ si dorim sa aflam punctul $A(x, y)$ cu propietatea ca acesta apartine atat dreptei $d{~1~}$, cat si dreptei $d{~2~}$. Scriem ecuatiile celor 2 drepte:
Am ajuns astfel la un sistem de $2$ ecuatii cu $2$ necunoscute. Pentru a ajunge la niste formule mai directe de calculare a celor $2$ coordonare vom inmulti prima relatie cu $b{~2~}$ si pe cea de-a doua cu $b{~1~}$.
<tex> a_1 * x + b_1 * y + c_1 = 0</tex>
<tex> a_2 * x + b_2 * y + c_2 = 0</tex>
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=sistem03!
Am ajuns astfel la un sistem de 2 ecuatii cu 2 necunoscute. Pentru a ajunge la niste formule mai directe de calculare a celor 2 coordonate vom inmulti prima relatie cu $b{~2~}$ si pe cea de-a doua cu $b{~1~}$.
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=sistem04!
<tex>a_1 * b_2 * x + b_1 * b_2 * y + c_1 * b_2 = 0</tex>
<tex>a_2 * b_1 * x + b_1 * b_2 * y + c_2 * b_1 = 0</tex>
Scadem cele doua relatii si ajungem la o singura ecuatie cu o singura necunoscuta:
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=sistem05!
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=sistem06!
Odata ce l-am aflat pe $x$, descoperirea celeilalte coordonate e destul de triviala:
<tex>(a_1 * b_2 - a_2 * b_1) * x + c_1 * b_2 - c_2 * b_1 = 0 \Leftrightarrow</tex>
<tex>x = \frac{c_2 * b_1 - c_1 * b_2}{a_1 * b_2 - a_2 * b_1}</tex>
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=sistem01!
O data ce l-am aflat pe $x$, descoperirea celeilalte coordonate e destul de triviala:
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=sistem07!
<tex>a_1*x + b_1 * y + c_1 = 0</tex>
<tex>y = \frac{-c_1 - a_1 * x}{b_1}</tex>
h3. Panta unei drepte
