h1. Notiuni de geometrie si aplicatii

h1. Notiuni elementare de geometrie si aplicatii

(Categoria _Geometrie_, autori _Savin Tiberiu_ si _Sima Mihai Cotizo_)

(Categoria _Geometrie_, Autori _Savin Tiberiu_ si _Sima Mihai Cotizo_)

h2. Drepte

(toc){width: 27em}*{text-align:center} *Conţinut:*
* '**0. Introducere**':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii#introducere
* '1. Arii':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/arii
** '- triunghi':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/arii#triunghi
** '- patrulater':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/arii#patrulater
** '- poligon':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/arii#poligon
* '2. Drepte':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/drepte
** '- elemente generale':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/drepte#general
** '- ecuaţii':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/drepte#ecuatii
** '- distanţa punct-linie':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/drepte#dpl
** '- distanţa punct-segment(semidreaptă)':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/drepte#dps
* '3. Punct în poligon':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/punct-in-poligon
** '- crossing-number':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/punct-in-poligon#cn
** '- winding-number (?)':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/punct-in-poligon#wn
** '- şmenuri':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/punct-in-poligon#smen
* '4. Intersecţii de drepte şi segmente':notiuni-de-geometrie-si-aplicati/intersectii-drepte-si-segmente
* 5. Distanţe
** - între linii
** - între segmente şi semidrepte
** - cea mai mică distanţă între două mobile
* 6. Bounding ...
** - ... box
** - ... circle
* '7. Infaşurătoare convexă':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/infasuratoare-convexa
* 8. Puncte extreme şi distanţa poligon-linie
* 9. Tangente
* 10. Probleme de concurs

h3. +Ecuatiile dreptelor+

h2(#introducere). 0. Introducere

Ecuatia unei drepte reprezinta o relatie care este respecatata de toate punctele aflate pe dreapta. Forma generala a ecuatiei unei drepte in sistemul xOy este:

**Geometria** (din greaca veche - {_geo_}=pământ, {_metria_}=a măsura) este partea matematicii care se ocupă cu problemele privind dimensiunile, forma şi poziţia figurilor. Introducerea coordonatelor de către René Descartes a dus la dezvoltarea geometriei analitice, a cărei scop devine studierea geometriei prin funcţii şi ecuaţii.

$d: a*x+b*y+c=0$

În problemele de olimpiadă este necesară cunoaşterea câtorva noţiuni şi idei de bază pentru a facilita găsirea unui algoritm eficient într-un timp scurt. Prezentul articol are ca scop explicarea acestor noţiuni privitoare la geometria plană (2D) şi studierea câtorva idei aplicate în problemele de concurs.

In cazul in care dreapta nu este in plan se va adauga un coeficient nou la ecuatie pentru fiecare dimensiune, de exemplu pentru o dreapta in spatiu ecuatia ei va fi :
 
$d: a*x+b*y+c*z+d=0;$
 
Pentru simplitate de aici inainte ne vom referi numai la drepte in plan. De mentionat este faptul ca daca trecem pe $y$ in partea dreapta si impartim prin -b (consideram un caz general, nu cel nefericit in care b=0), obtinem:
 
$d: y = (-a/b)*x + (-c/b)$, care se mai scrie si $d: y=m*x+n$, unde $m=-a/b$ este denumita "panta dreptei", si reprezinta tangenta unghiului pe care il face dreapta cu Ox.
 
De asemenea, fiind date doua puncte $A(x{~1~},y{~1~})$ si $B(x{~2~},y{~1~})$, ecuatia dreptei determinate de ei se poate scrie:
 
$d: (x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1)$.
 
Aceasta poate sa nu ne fie de foarte mult ajutor, dar facand produsul mezilor cu extremii si desfacand parantezele vom obtine:
 
$d: (y{~2~}-y{~1~})*x + (x{~1~}-x{~2~})*y + (y{~1~}x{~2~}-y{~2~}x{~1~}) = 0$, de unde putem deduce foarte usor cine sunt $a$, $b$, $c$ din scrierile precedente.
 
Se poate ridica intrebarea "de ce toate ecuatiile sunt (in general) egale cu 0?". Raspunsul este unul extrem de simplu: _dreptele sunt locuri geometrice_ (multimi de puncte cu aceeasi proprietate) _pentru care ecuatia respectiva este egala cu $0$_. De asemenea, se stie ca orice dreapta imparte planul in 2 semiplane : cel cu puncte pentru care daca aplicam ecuatia, vom obtine o valoare strict pozitiva, iar cel pt care vom obtine o valoare strict negativa. De aceea,  daca avem o dreapta data prin 2 puncte $A(x{~1~},y{~1~})$ si $B(x{~2~},y{~2~})$ de pe aceasta, atunci punctul $C(x{~3~},y{~3~})$ va apartine dreptei $AB$ daca si numai daca:
 
 
       $x{~1~}$ $y{~1~}$ $1$
det. $x{~2~}$ $y{~2~}$ $1$  = 0
       $x{~3~}$ $y{~3~}$ $1$
 
h3. +Punctul de intersectie a 2 drepte+
 
Dupa cum am vazut o dreapta reprezinta un loc geometric. Sa zicem ca avem 2 drepte $d{~1~}$ si $d{~2~}$ si dorim sa aflam punctul $A(x,y)$ cu propietatea ca acesta apartine atat dreptei $d{~1~}$ cat si dreptei $d{~2~}$. Scriem ecuatiile celor 2 drepte:
 
$a{~1~}*x + b{~1~}*y + c{~1~}=0$
$a{~2~}*x + b{~2~}*y + c{~2~}=0$
 
Am ajuns astfel la un sistem de 2 ecuatii cu 2 necunoscute. Pentru a ajunge la niste formule mai directe de calculare a celor 2 coordonare vom inmulti prima relatie cu b{~2~} si pe cea de-a doua cu b{~1~}.
 
$a{~1~}*b{~2~}*x + b{~1~}*b{~2~}*y + c{~1~}*b{~2~}=0$
$a{~2~}*b{~1~}*x + b{~1~}*b{~2~}*y + c{~2~}*b{~1~}=0$
 
Scadem cele doua relatii si ajungem la o singura ecuatie cu o singura necunoscuta:
 
$(a{~1~}*b{~2~} - a{~2~}*b{~1~})*x + c{~1~}*b{~2~} - c{~2~}*b{~1~}=0$ <=>
 
x= $(c{~2~}*b{~1~} - c{~1~}*b{~2~})/(a{~1~}*b{~2~} - a{~2~}*b{~1~})$
 
Odata ce l-am aflat pe $x$, descoperirea celeilalte coordonate e destul de triviala:
 
$a{~1~}*x+b{~1~}*y+c{~1~}=0$ <=>
 
$y=(-c{~1~}-a{~1~}*x)/b{~1~}$
 
 
h2. Distante
 
h3. +Distanta dintre 2 puncte+
 
Consideram $2$ puncte $A(x{~1~},y{~1~})$ si $B(x{~2~},y{~2~})$, si vrem sa aflam distanta dintre ele. Pentru a face acest lucru construim un al treilea punct $C(x{~2~},y{~1~}) si observam ca triunghiul ACB este dreptunghic iar distanta dintre punctele $AB$ este intocmai ipotenuza acestui triunghi. Folosind "teorema lui Pitagora":http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTheorem.html ajunge la urmatoarea formula:
 
$d= &radic;(x2-x1)*(x2-x1)+(y2 - y1)*(y2 - y1)$
 
 
h3. +Distanta dintre un punct si o dreapta+
 
Sa zicem ca avem un punct $A$ si o dreapta $d{~1~}$ si vrem sa aflam distanta dintre acestea 2.