| Fişierul intrare/ieşire: | nim.in, nim.out | Sursă | Arhiva Educationala |
| Autor | Arhiva Educationala | Adăugată de |  Gavrila Vlad •GavrilaVlad |
| Timp execuţie pe test | 0.15 sec | Limită de memorie | 5120 kbytes |
| Scorul tău | N/A | Dificultate | N/A |
Poti vedea testele pentru aceasta problema accesand atasamentele.Vezi solutiile trimise | Statistici
Jocul NIM
Se dau n grămezi, fiecare conţinând un anumit număr de pietre. Doi jucători vor începe să ia alternativ din pietre, astfel: la fiecare pas, jucătorul aflat la mutare trebuie să îndepărteze un număr nenul de pietre dintr-o singură grămadă. Câştigătorul este cel care ia ultima piatră.
Cerinţă
Pentru t configuraţii de joc date, să se determine dacă jucătorul care ia primele pietre are strategie sigură de câştig.
Date de intrare
Pe prima linie a fişierului de intrare nim.in se va afla numărul t de configuraţii. Pe următoarele 2*t linii se vor afla descrierile jocurilor, astfel: pe linia 2*i se va afla numărul ni de grămezi care alcătuiesc jocul i, iar pe linia 2*i+1 se vor afla ni numere, dimensiunile grămezilor.
Date de ieşire
În fişierul de ieşire nim.out se vor afişa t linii, pe linia i aflându-se mesajul "DA", dacă primul jucător are strategie sigură de câştig in jocul i, respectiv "NU", în caz contrar.
Restricţii
- 1 ≤ t ≤ 100
- 1 ≤ ni ≤ 10 000
- Numărul de pietre din oricare grămadă este natural pozitiv mai mic sau egal cu 2 * 109
Exemplu
| nim.in | nim.out |
|---|---|
| 2 4 1 3 5 7 3 4 8 17 | NU DA |
Indicaţii de rezolvare
Jocul imparţial propus în această problemă se numeşte jocul NIM, stând la baza teoriei jocurilor. Numim stare câştigătoare o configuraţie a grămezilor pentru care primul jucător are strategie sigură de câştig, respectiv stare necâştigătoare o configuraţie pentru care primul jucător va pierde. Se observă că stările câştigătoare corespund situaţiilor în care suma XOR a numerelor de pietre din grămezi este mai mare ca 0.
Pentru a demonstra acest lucru, următoarele condiţii sunt necesare şi suficiente:
- Dintr-o stare cu suma XOR 0, se poate ajunge doar în stări cu suma XOR pozitivă, sau jocul se termină. Scăzând din orice grămadă o cantitate pozitivă, evident vom schimba configuraţia binară a numărului de pietre cu cel puţin un bit, deci şi suma XOR. Jocul se termină când toate grămezile au 0 pietre, deci şi suma XOR este 0.
- Dintr-o stare cu suma XOR nenulă, se poate ajunge într-o stare cu suma XOR 0. Căutăm o grămadă cu un număr X de pietre, care are, în reprezentarea sa binară, valoarea 1 pe poziţia bitului cel mai semnificativ al sumei XOR, să o notăm cu S. Din acea grămadă se vor scădea X - (X XOR S) pietre, (X XOR S) fiind mai mic decât X deoarece se anulează bitul cel mai semnificativ al lui S. Suma XOR rămasă după scădere este egală cu 0.
O implementare de 100 de puncte gasiti aici. Pentru o demonstraţie mai pe larg şi alte variante de joc NIM, puteţi consulta acest articol, dar si cel despre teoria jocurilor de pe infoarena.
