Notiuni de geometrie si aplicatii

(Categoria Geometrie, autori Savin Tiberiu si Sima Mihai Cotizo)

1.Drepte

Ecuatiile dreptelor

Ecuatia unei drepte reprezinta o relatie care este respecatata de toate punctele aflate pe dreapta. Forma generala a ecuatiei unei drepte in sistemul xOy este:

In cazul in care dreapta nu este in plan se va adauga un coeficient nou la ecuatie pentru fiecare dimensiune, de exemplu pentru o dreapta in spatiu ecuatia ei va fi :

Pentru simplitate de aici inainte ne vom referi numai la drepte in plan. De mentionat este faptul ca daca trecem pe y in partea dreapta si impartim prin -b (consideram un caz general, nu cel nefericit in care b=0), obtinem:

De asemenea, fiind date doua puncte A(x₁,y₁) si B{x₂,y₂), ecuatia dreptei determinate de ei se poate scrie:

Aceasta poate sa nu ne fie de foarte mult ajutor, dar facand produsul mezilor cu extremii si desfacand parantezele vom obtine:

, de unde putem deduce foarte usor cine sunt a, b, c din scrierile precedente.

Se poate ridica intrebarea "de ce toate ecuatiile sunt (in general) egale cu 0?". Raspunsul este unul extrem de simplu: dreptele sunt locuri geometrice (multimi de puncte cu aceeasi proprietate) pentru care ecuatia respectiva este egala cu 0. De asemenea, se stie ca orice dreapta imparte planul in 2 semiplane : cel cu puncte pentru care daca aplicam ecuatia, vom obtine o valoare strict pozitiva, iar cel pt care vom obtine o valoare strict negativa. De aceea, daca avem o dreapta data prin 2 puncte A(x₁,y₁) si B{x₂,y₂) de pe aceasta, atunci punctul C{x₃,y₃) va apartine dreptei AB daca si numai daca:

Punctul de intersectie a 2 drepte

Dupa cum am vazut o dreapta reprezinta un loc geometric. Sa zicem ca avem 2 drepte d₁ si d₂ si dorim sa aflam punctul A(x,y) cu propietatea ca acesta apartine atat dreptei d₁ cat si dreptei d₂. Scriem ecuatiile celor 2 drepte:

a₁*x + b₁*y + c₁=0
a₂*x + b₂*y + c₂=0

Am ajuns astfel la un sistem de 2 ecuatii cu 2 necunoscute. Pentru a ajunge la niste formule mai directe de calculare a celor 2 coordonare vom inmulti prima relatie cu b₂ si pe cea de-a doua cu b₁.

a₁*b₂*x + b₁*b₂*y + c₁*b₂=0
a₂*b₁*x + b₁*b₂*y + c₂*b₁=0

Scadem cele doua relatii si ajungem la o singura ecuatie cu o singura necunoscuta:

(a₁*b₂ - a₂*b₁)*x + c₁*b₂ - c₂*b₁=0 <=>

x= (c₂*b₁ - c₁*b₂)/(a₁*b₂ - a₂*b₁)

Odata ce l-am aflat pe x, descoperirea celeilalte coordonate e destul de triviala:

a₁*x+b₁*y+c₁=0 <=>

y=(-c₁-a₁*x)/b₁

Panta unei drepte

Panta unei drepte se poate defini ca fiind tangenta unghiului facut de dreapta cu orizontala, mai exact cu orice dreapta paralela cu axa OX. Ea se calculeaza astfel:

Propietati:
• Doua drepte care au pantele egale sunt ori paralele ori confundate.
• Doua drepte care au produsul pantelor egal cu -1 sunt perpendiculare.

2.Distante

Distanta dintre 2 puncte

Consideram 2 puncte A(x₁,y₁) si B(x₂,y₂), si vrem sa aflam distanta dintre ele. Pentru a face acest lucru construim un al treilea punct C(x₂,y₁) si observam ca triunghiul ACB este dreptunghic iar distanta dintre punctele $AB este intocmai ipotenuza acestui triunghi. Folosind teorema lui Pitagora ajunge la urmatoarea formula:

d= √(x2-x1)*(x2-x1)+(y2 - y1)*(y2 - y1)

Distanta dintre un punct si o dreapta

Pentru a calcula distanta care ne trebuie noua vom calcula panta dreptei d₁ notata cu m₁. Acum vrem sa construim o dreapta d₂ perpendiculara pe dreapta d₁ care trece prin punctul A. Stim ca m₁*m₂=-1 si de aici aflam usor m₂ (panta dreptei d₂). In acest moment avem panta dreptei d₂ si un punct care ii apartine. Avand aceste 2 informatii putem sa calculam usor ecuatia ei si punctul de intersectie cu dreapta d₁ (Vezi capitolul Drepte). Distanta dintre dreapta si punct va fi egala cu distanta dintre punct si punctul de intersectie al celor 2 drepte.

De asemenea exista si o formula pt a determina distanta de la un punct la o dreapta: considerand punctul A(x,y) si dreapta d: ax+by+c=0, vom avea :

Distanta dintre un punct si un segment

Sa presupunem un punct A(x₁,y(~1~)) si un segment determinat de punctele B(x₂,y(~2~)) si C(x₃,y(~3~)) si vrem sa aflam distanta dintre punct si segment.

d=min(dist(A,B),dist(A,C)) in cazul in care perpendiculara din punctul A pe dreapta BC nu cade in interiorul segmentului BC, altfel distanta va fi egala cu distanta dintre punctul A si dreapta BC, lucru care l-am tratat mai sus.