Notiuni de geometrie si aplicatii

(Categoria Geometrie, autori Savin Tiberiu si Sima Mihai Cotizo)

1.Drepte

Ecuatiile dreptelor

Ecuatia unei drepte reprezinta o relatie care este respecatata de toate punctele aflate pe dreapta. Forma generala a ecuatiei unei drepte in sistemul xOy este:

d: a*x+b*y+c=0

In cazul in care dreapta nu este in plan se va adauga un coeficient nou la ecuatie pentru fiecare dimensiune, de exemplu pentru o dreapta in spatiu ecuatia ei va fi :

d: a*x+b*y+c*z+d=0;

Pentru simplitate de aici inainte ne vom referi numai la drepte in plan. De mentionat este faptul ca daca trecem pe y in partea dreapta si impartim prin -b (consideram un caz general, nu cel nefericit in care b=0), obtinem:

d: y = (-a/b)*x + (-c/b), care se mai scrie si d: y=m*x+n, unde m=-a/b este denumita "panta dreptei", si reprezinta tangenta unghiului pe care il face dreapta cu Ox.

De asemenea, fiind date doua puncte A(x₁,y₁) si B(x₂,y₁), ecuatia dreptei determinate de ei se poate scrie:

d: (x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1).

Aceasta poate sa nu ne fie de foarte mult ajutor, dar facand produsul mezilor cu extremii si desfacand parantezele vom obtine:

d: (y₂-y₁)*x + (x₁-x₂)*y + (y₁x₂-y₂x₁) = 0, de unde putem deduce foarte usor cine sunt a, b, c din scrierile precedente.

Se poate ridica intrebarea "de ce toate ecuatiile sunt (in general) egale cu 0?". Raspunsul este unul extrem de simplu: dreptele sunt locuri geometrice (multimi de puncte cu aceeasi proprietate) pentru care ecuatia respectiva este egala cu 0. De asemenea, se stie ca orice dreapta imparte planul in 2 semiplane : cel cu puncte pentru care daca aplicam ecuatia, vom obtine o valoare strict pozitiva, iar cel pt care vom obtine o valoare strict negativa. De aceea, daca avem o dreapta data prin 2 puncte A(x₁,y₁) si B(x₂,y₂) de pe aceasta, atunci punctul C(x₃,y₃) va apartine dreptei AB daca si numai daca:

       x₁ y₁ 1
det. x₂ y₂ 1 = 0
       x₃ y₃ 1

Punctul de intersectie a 2 drepte

Dupa cum am vazut o dreapta reprezinta un loc geometric. Sa zicem ca avem 2 drepte d₁ si d₂ si dorim sa aflam punctul A(x,y) cu propietatea ca acesta apartine atat dreptei d₁ cat si dreptei d₂. Scriem ecuatiile celor 2 drepte:

a₁*x + b₁*y + c₁=0
a₂*x + b₂*y + c₂=0

Am ajuns astfel la un sistem de 2 ecuatii cu 2 necunoscute. Pentru a ajunge la niste formule mai directe de calculare a celor 2 coordonare vom inmulti prima relatie cu b₂ si pe cea de-a doua cu b₁.

a₁*b₂*x + b₁*b₂*y + c₁*b₂=0
a₂*b₁*x + b₁*b₂*y + c₂*b₁=0

Scadem cele doua relatii si ajungem la o singura ecuatie cu o singura necunoscuta:

(a₁*b₂ - a₂*b₁)*x + c₁*b₂ - c₂*b₁=0 <=>

x= (c₂*b₁ - c₁*b₂)/(a₁*b₂ - a₂*b₁)

Odata ce l-am aflat pe x, descoperirea celeilalte coordonate e destul de triviala:

a₁*x+b₁*y+c₁=0 <=>

y=(-c₁-a₁*x)/b₁

2.Distante

Distanta dintre 2 puncte

Consideram 2 puncte A(x₁,y₁) si B(x₂,y₂), si vrem sa aflam distanta dintre ele. Pentru a face acest lucru construim un al treilea punct C(x₂,y₁) si observam ca triunghiul ACB este dreptunghic iar distanta dintre punctele $AB este intocmai ipotenuza acestui triunghi. Folosind teorema lui Pitagora ajunge la urmatoarea formula:

d= √(x2-x1)*(x2-x1)+(y2 - y1)*(y2 - y1)

Distanta dintre un punct si o dreapta

Sa zicem ca avem un punct A si o dreapta d₁ si vrem sa aflam distanta dintre acestea. Inainte trebuie sa stim cateva propietati ale dreptelor:

1.  Panta unei drepte este egala cu (y₁-y₂)/(x₁-x₂)=0, unde punctele (x₁,y₁) si ((x₂,y₂) apartin dreptei
2.  Doua drepte perpendiculare au produsul pantelor egal cu -1
3.  Doua drepte paralele au pantele egale

In problema noasta nu vom folosi a treia propietate dar poate ne va fi de ajutor in viitor. Pentru a calcula distanta care ne trebuie noua vom calcula panta dreptei d₁ notata cu m₁. Acum vrem sa construim o dreapta d₂ perpendiculara pe dreapta d₁ care trece prin punctul A. Stim ca m₁*m₂=0 si de aici aflam usor m₂ (panta dreptei d₂). In acest moment avem panta dreptei d₂ si un punct care ii apartine. Avand aceste 2 informatii putem sa calculam usor ecuatia ei si punctul de intersectie cu dreapta d₁ (Vezi capitolul Drepte). Distanta dintre dreapta si punct va fi egala cu distanta dintre punct si punctul de intersectie al celor 2 drepte.

De asemenea exista si o formula pt asta dar o scriem aici cand o gasim :P