Revizia anterioară Revizia următoare
Pietre2
Soluţie 1
Rezolvarea se bazează pe observaţia că dacă vom procesa înălţimile în ordine crescătoare, atunci vom putea actualiza un drum de lungime maximă ce se termină în fiecare din aceste pătrăţele în mod corect.
Astfel, algoritmul va sorta crescător toate cele n2 pătrăţelele :
Algoritm Rezolvă(n):
pentru fiecare (h, i, j) execută: // pătrăţelul (i, j) cu înălţimea h
pentru fiecare vecin (h’, i’, j’) cu h = h’ + 1 execută:
dacă lg[i][j] < lg[i’][j’] + 1 atunci
lg[i][j] = lg[i’][j’] + 1
sfârşit(dacă)
sfârşit(pentru)
sfârşit(pentru)
caută max{lg[i][j] : 1 <= i, j <= n}
reconstruieşte drumul alegând un vecin cu lungimea mai mică cu exact 1
până ce se ajunge la marginea matricei.
Sfârşit(algoritm)
În implementare se va ţine cont ca pătrăţelele de pe marginea matricei care sunt puncte de plecare să fie marcate iniţial cu 0.
Complexitate: O(N2 log(N)).
Soluţie 2
Problema, în ciuda faptului că limita pentru n este mare, se putea aborda şi cu backtracking. Cu o rezolvare asemănătoare cu cea de mai jos se putea obţine 90 puncte.
În programul principal:
Algoritm Pietre(n,t): // n: dimensiunea tabloului t
max = 0 // lungimea maximă a drumului
maxlin = 0 // linia de unde porneşte cel mai lung drum
maxcol = 0 // coloana de unde porneşte cel mai lung drum
lin = 1 // vom încerca să intrăm în tablou pornind din linia 1
pentru col=1,n execută:
maxnou = 0 // maximul actual
rez[lin,col] = 1 // marcăm punctul de pornire
cauta(lin,col,2) // căutăm un drum având acest punct de start
dacă maxnou > max atunci // actualizarea
max = maxnou
maxlin = lin
maxcol = col
sfârşit(dacă)
sfârşit(pentru)
//... la fel procedăm cu linia n, coloana 1 şi coloana n
sfârşit(algoritm)
Algoritm Cauta(lin,col,pas):
pentru i=1,4 execută: // un element are 4 vecini
lin_nou = lin + x[i] // indicele de linie al vecinului
col_nou = col + y[i] // indicele de coloană
// dacă am generat o poziţie pe teren }
dacă (lin_nou = {1,2,...,n}) şi (col_nou = {1,2,...,n}) atunci
dacă rez[lin_nou,col_nou] = 0 atunci // dacă nu am fost aici
// dacă numărul pietrelor este cu 1 mai mare
dacă t[lin_nou,col_nou] = t[lin,col] + 1 atunci
rez[lin_nou,col_nou] = pas // facem pasul
dacă pas > maxnou atunci //actualizăm maximul actual
maxnou = pas
sfârşit(dacă)
Cauta(lin_nou,col_nou,pas+1) // încercăm să continuăm drumul
rez[lin_nou,col_nou] = 0 // ştergem pasul, pentru că vom căuta alt drum
sfârşit(dacă)
sfârşit(dacă)
sfârşit(dacă)
sfârşit(pentru)
Sfârşit(algoritm)
unde şirurile x şi y au valorile:
x = (-1,0,1,0)
y = (0,1,0,-1)
Soluţie 3
Problema se poate rezolva şi în complexitatea O(N2) folosind memoizarea. Astfel, vom calcula pentru fiecare element al matricii cât se poate urca dacă pornim din elementul respectiv. Pseudocodul funcţiei care calculează pentru fiecare element cât se poate urca dacă pornim din elementul respectiv arată astfel:
funcţie din(i, j):
dacă(D[i][j] != 0) atunci
returnează D[i][j]
sfârşit dacă
D[i][j] = 1
pentru fiecare vecin (i', j') al perechii (i, j) execută:
dacă A[i][j] + 1 = A[i'][j'] şi D[i][j] < din(i', j') + 1 atunci
D[i][j] = din(i', j') + 1
sfârşit dacă
sfârşit pentru
Sfârşit(din)
Se observă că fiecare pentru fiecare element al matricii, funcţia este apelată de un număr constant de ori, deci complexitatea algoritmului este O(N2).