Algoritmul lui Dinic
(Categoria Grafuri, autor(i) Alexandru Mosoi)
TODO:
* ancore la pasi
* poze si exemplificare
* analiza complexitatii
Introducere
Acest articol presupune o familiarizare anterioara cu grafuri si retele de transport. Pentru a elimina neclaritati vom da urmatoarea definitie: O retea de transport este un graf orientat in care avem un nod sursa, un nod destinatie, iar fiecarei muchii ii este asociata o capacitate superioara. Problema este clasica: cat flux putem baga de la sursa la destinatie fara a depasi capacitatea fiecarei muchii. Algoritmul pe care probabil deja il cunoasteti poarta numele Edmonds-Karp si are complexitatea O(N*M*M). Algoritmul Dinic, prezentat in acest articol, are complexitatea O(N*N*M). Am folosit notatiile obisnuite: N - numarul de noduri, M - numarul de muchii.
Exemplu
Pentru o mai buna intelegere a articolului vom lucra cu urmatorul exemplu (imagine preluata de pe Wikipedia):
Descriere
Pasul 1
Algoritmul Edmonds-Karp presupune gasirea, cat timp exista, a unui drum de crestere in reteaua reziduala si marirea fluxului total. Evident, la fiecare pas pot exista mai multe drumuri de crestere (care au luO observatie importanta este ca la fiecare pas in reteua reziduala exista mai multe drumuri de crestere de lungime minima.
Primul pas este sa construim din reteua reziduala un graf orientat aciclic in care sa regasim toate drumurile de lungime minima de la sursa la destinatie. Evident in acest dag toate muchiile vor avea capacitatea cel putin 1. Cum construim acest graf? Destul de simplu. Modificam putin bfs-ul de la Edmonds-Karp precum urmeaza. Pentru fiecare nod, calculam distanta (ca numar de muchii) de la sursa pana la el. O muchie (u, v) cu capacitatea c > 0 in reteaua reziduala este adaugata la graful construit doar daca distanta de la sursa la u plus 1 este egala cu distanta de la sursa la nodul v (pe scurt, daca muchia (u, v) apartine unui drum de lungime minima de la sursa la destinatie).
In exemplul de mai jos noul graf este construit odata cu parcurgerea in latime. flow reprezinta matricea de adiacenta pentru reteaua reziduala, iar edges memoreaza pentru fiecare nod lista de vecini in graful construit (atentie: muchiile inverse nu apar).
while (!que.empty()) {
int node = que.front();
que.pop();
if (node == N-1)
break;
for (int i = 0; i < N; ++i) {
if (flow[node][i] == 0)
continue;
if (dist[i] == -1) {
que.push(i);
dist[i] = dist[node]+1;
edges[node][++edges[node][0]] = i;
} else if (dist[i] == dist[node]+1) {
edges[node][++edges[node][0]] = i;
}
}
}Nota: Scriind acest articol, mi-am dat seama ca se putea un pic mai simplu, fara sa tin cont de distanta. Cand se expandeaza nodul u, muchia (u, v) se adauga la graf doar daca v este nevizitat. Un nod este vizitat daca a fost expandat (scos din coada).
Pasul 2
Urmatorul pas este sa bagam flux in graful creat (subraf a retelei reziduale). Acesta operatie se poate face usor cautand drumuri de crestere si pompand flux pe aceste drumuri pana cand nu mai gasim nici un drum. Dupa ce s-a gasit un drum NU se face o reactualizare a formei grafului creat la pasul 1, ci doar asupra capacitatilor muchiilor.
Observatie: daca am gasit un drum de la sursa la destinatie atunci fluxul maxim pe care il pot pompa prin acest drum de crestere este maximul dintre capacitatile muchiilor de pe drum.
O imbunatatire semnificativa este sa se tina cont ca unele drumuri au un inceput comun. Sa presupunem drumurile sursa -> ...(drum)... -> nod -> ...(drum 1)... -> destinatie si sursa -> ...(drum)... -> nod -> ...(drum 2)... -> destinatie. Cele doua drumuri au in comun portiunea sursa -> ...(drum)... -> nod. Sa cautam drumurile cu un DFS recursiv. Daca drumurile sunt cautate cu un DFS recursiv, atunci dupa ce se ajunge in nod cu posibilitatea de a pompa maxim C flux, si dupa ce introduc B flux pe primul drum, pe al doilea drum mai pot baga cel mult C-B flux.
int do_df(int node, int cap) {
if (cap == 0)
return 0;
if (node == D)
return cap;
int bag = 0;
for (int i = 1; i <= edges[node][0]; ++i) {
const int next = edges[node][i];
if (flow[node][next] == 0)
continue;
const int r = do_df(next, min(cap-bag, flow[node][next]));
if (r) {
flow[node][next] -= r;
flow[next][node] += r;
bag += r;
}
}
return bag;
}Functia do_df() pompeaza fluxul maxim in graful construit la pasul 1. Datorita formei particulare a grafului si ca forma sa nu se schimba dupa fiecare drum de crestere algoritmul nu are deficienta intalnita la algoritmul Ford-Fulkerson.
Pasul 3
Cat timp mai exista drum de crestere (sau fluxul introdus la pasul anterior este strict pozitiv) reiau algoritmul de la Pasul 1.
Comentarii
