Problema saptamanii - Produs (Solutie)

Cosmin Negruseri
08 iunie 2008

Problema curenta a fost rezolvata de urmatorii Alexandru Mosoi, Bogdan Dumitru, Mihai Patrascu, Mihai Stroe, Delia David, Dumitru Ciubatii, Teodorescu Andrei-Marius, Dobrota Valentin Eugen, Ghitulete Razvan, Savin Tiberiu, Nicolae Titus, Adrian Vladu, Catalin Tiseanu. Oare a fost problema simpla sau se apropie vacanta?

Problema suna asa:

Sa se determine produsul maxim a unor numere reale pozitive a caror suma e 100.

Am primit si cateva solutii care presupuneau ca numerele sunt intregi sau in care se considera ca am cerut produsul maxim pentru exact doua numere. Mie textul mi s-a parut destul de clar si se pare ca a fost la fel de clar pentru majoritatea celor ce mi-au trimis solutia buna.

Aveti aici solutia lui Mihai Patrascu:

1. Arati convexitate: daca a+b=S, max(a*b) = S²/4. Deci daca doua numere sunt inegale, le faci egale pastrand suma si marind produsul. Deci ca sa optimizezi pt k numere, optimul e (100/k)^k

2. Ca sa optimizezi dupa k, iei logaritm: k(ln 100 - ln k). Derivata e: ln 100 - ln k - k*(1/k) = ln(100/e) - ln k. Vedem ca functie e creascatoare pana la k=100/e si descrescatoare dupa. Deci optimul e k = floor(100/e) sau k=ceil(100/e).

3. Folosind Google :)
(100 / 36)³⁶ = 9.39961298 * 10¹⁵
(100 / 37)³⁷ = 9.47406172 * 10¹⁵