MaxSubSum:

*A. MaxSubSum*

Algoritmul general de găsire a submatricei de sumă maximă este prea încet pentru această problemă, având complexitate O(N ^ 3). Este în schimb natural să ne gândim că putem obţine o soluţie mai rapidă dacă analizăm modul de construcţie al matricei. Astfel, analizând matricea cu colţurile (x1, y1, x2, y2), observăm că suma sa este (x2 - x1 + 1) * B[y1...y2] + (y2 - y1 + 1) * A[x1...x2], unde prin T[a...b] am notat suma T[a] + T[a + 1] + …. T[b]. Această formulă ne arată, printre altele, că nu este întotdeauna optim să alegem independent liniile şi coloanele matricei bazându-ne pe subsecvenţele de sumă maximă din cele două şiruri (soluţie încercată iniţial de unii concurenţi). Uneori, o subsecvenţă de sumă nemaximă, dar de lungime mare, poate fi de ajutor.
În schimb, este adevărat că dacă submatricea optimă va avea X linii şi Y coloane, ne intereseaza doar subsecvenţele de lungime X, respectiv Y care au suma maximă posibilă în A şi B. Putem precalcula uşor şirul bestA[Length] = “suma maximă a unei subsecvenţe din A de lungime Length” în timp O(N ^ 2), analog pentru şirul bestB[]. Apoi vom itera peste toate cele N ^ 2 dimensiuni posibile ale submatricei şi vom reţine maximul expresiei LineCount * bestB[ColumnCount] + ColumnCount * bestA[LineCount].

Avioane2:

*B. Avioane2*

Construim 3 tipuri de evenimente:
Decolare: Decoleaza avionul cu indicele X din aeroportul A la timpul Td

Eveniment de Aterizare (aeroportul B): selectam pentru nodul in care aterizam (nodul B) cea mai buna varianta (ori pastram costul minim de pana acum, ori costul obtinut prin intermediul avionului care tocmai a aterizat, cost calculat la evenimentul de tip Decolare)
Problema poate fi vizualizata ca si un caz particular al algoritmului de Bellman-Ford. Din moment ce avem si axa timpului, este suficient sa trecem o singura data prin muchii deoarece o muchie cu un cost mic la un anumit moment de timp nu poate afecta alte configuratii la timpi mai mici

MinLcm:

*C. MinLcm*

Folosim proprietatea: cmmmc(a, b).= a * b / cmmdc(a, b)
Din moment ce a, b <= 100.000, avem garantia si ca cmmdc(a, b) <= 100.000

Obsevatie: Algoritmul fixeaza in realitate doar un divizor al celor 2 numere (fără a avea vreo garanţie că este cmmdc-ul real), dar dacă divizorul respectiv nu este într-adevăr cel mai mare posibil al celor două numere, va produce un rezultat mai mare decât cel real, deci răspunsul problemei nu va fi afectat.

Unlock:

*D. Unlock*

O primă soluţie posibilă este cea de a itera pe rând prin toate cele K culori şi a efectua câte o parcurgere a matricei pentru a verifica dacă celulele libere sunt conexe. Această soluţie are complexitate worst-case O(N * M * K), iar date fiind limitările lui K, este echivalentă cu  O((N * M) ^ 2). Deşi la prima vedere ar părea că este puţin probabil ca atât K cât şi zonele atinse de fiecare parcurgere să fie de mărime Theta(N * M) simultan, există teste în care acest lucru se întâmplă, iar soluţia descrisă depăşeşte cu mult limita de timp, care, mai mult, este calibrată pentru a procesa 25 de teste, nu unul singur.

Este nevoie de o implementare atentă pentru a menţine complexitatea dorită. Spre exemplu, reiniţializarea completă a pădurilor de mulţimi disjuncte pentru fiecare culoare poate duce din nou la timp O((N * M) ^ 2), chiar dacă restul algoritmului este eficient.

MinMaxStore:

*E. MinMaxStore*

Se observa faptul ca proprietatea este independenta pentru minim si maxim.

La sfarsit proprietatea este adevarata daca avem un singur posibil minim si acesta se afla pe pozitia indicata. Analog facem si pentru maxim si raspundem la fiecare din cele 4 cazuri in functie de corectitudinea celor 2 raspunsuri.

Pokemon3:

*F. Pokemon3*

În ciuda enunţului mai complex, aceasta este una dintre cele mai simple probleme la nivel algoritmic. Deoarece numărul de tipuri de pokemon este mic, putem itera prin toate submulţimile posibile de pokemoni şi verifica pentru fiecare submulţime dacă aceasta asigură victoria. Pentru a se încadra în timp, soluţia trebuie să codeze submulţimile ca măşti de biţi şi să facă verificarile folosind operaţii pe biţi pe aceste valori. Complexitatea finală este O(2 ^ N * N).

Puzzle2:

*G. Puzzle2*

Problema admite multe soluţii, care variază mai ales ca dificultate a implementării. O soluţie rezonabilă vine din observaţia că o dată ce am aflat prima linie a matricei, restul matricei se poate reconstitui cu uşurinţă, linie cu linie. Pentru a construi prima linie, putem începe dintr-un colţ (un nod cu 2 vecini) şi parcurge numai noduri de margine (care au 3 vecini) până găsim un alt colţ. Dacă alegem să facem acest lucru, trebuie să tratăm special cazul matricelor cu 2 linii (sau coloane), deoarece în acest caz parcurgerea nodurilor de margine poate alterna haotic între cele două linii, fără ca lanţul obţinut în final să fie o linie reală a matricei. Cazul se tratează uşor, observând că acum un colţ este vecin direct cu cel puţin un alt colţ. Cele două colţuri vor forma singure prima linie, iar acum putem reconstitui restul matricei ca în cazul general.

Subpermutari:

*H. Subpermutari*

Consideram toate cele N^2 subsecventele are permutarii noastre. Observam faptul ca daca pentru o secventa [a,b] determinam cea mai lunga subpermutare care este atat prefix, cat si sufix a secventei noastre, putem foarte usor marca sufixul ca fiind o secventa care a mai aparut deja si crestem frecventa prefixului.
Pentru a determina cea mai lunga subpermutare care este atat prefix, cat si sufix, vom aplica un algoritm foarte asemanator KMP-ului:

Pentru a determina al catelea element se afla o valoare intr-o secventa putem usor precalcula cu un simplu aib
Complexitate: O(N^2 log N)

Nucleul Valoros Season 2:

*I. Nucleul Valoros Season 2*

Pornim de la solutia brute, programare dinamica in n^3.
D[i][j] = costul minim al secventei [i,j]. Recurenta este data in enunt: fixam un k de la i la j - 1 si luam cea mai buna varianta